Hay alguna forma geométrica para caracterizar $e$?

Question

Me explico mejor: después de esta pregunta, he estado buscando una manera de poner famoso constantes en la línea real de manera geométrica-sólo por diversión. Poner de $\sqrt2$ es realmente fácil: la construcción de un $45º - 90º - 45º$ triángulo con unitaria lados me hará tener una idea de lo que $\sqrt2$ es. Se extiende de este a $\sqrt5$, $\sqrt{13}$, y otros números algebraicos es fácil de usar Trigonometría; sin embargo, resultó difícil trabajar con algunos trascendental constantes. La construcción de $\pi$ es fácil de usar circunferencias; pero yo no podía entender cómo debo trabajar con $e$. Mirando

me hizo darme cuenta de que $e$ es el punto $\omega$ tal que $\displaystyle\int_1^{\omega}\frac{1}{x}dx = 1$. Sin embargo, no tengo otras ideas. Y sigo preguntándome:

¿Hay alguna manera de "ver" $e$ geométricamente? Y más: es cierto que uno puede construir cualquier número real geométricamente? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

Para una cierta definición de "geométricamente", la respuesta es que este es un problema abierto. Usted puede construir de $\pi$ geométricamente en términos de la circunferencia del círculo unitario. Esto es cierto integral de un "buen" funcionamiento de más de una "buena" de dominio; la formalización de esta idea conduce a la noción de período en la geometría algebraica. $\pi$, así como cualquier algebraica de números, es un período.

Es un problema abierto si $e$ es un período. De acuerdo a Wikipedia, la respuesta que se espera a ser que no.

En general, para una razonable definición de "geométricamente" sólo debe ser capaz de construir computable de los números, de los cuales hay countably muchos. Ya que los reales son innumerables, la mayoría de los números reales no pueden ser construidos "geométricamente."

Answer 2

El área debajo de la recíproca de la función $$\frac{1}{x}$$ de $x=1$ $x=e$ es $1$. Aunque esto no es realmente geométricas como usted desea, es todavía una forma clara de ver $e$ físicamente.

Answer 3

Debeaune preguntó Descartes este problema en una carta en 1638:

Considere la posibilidad de una curva de y=f(x)$. Vamos a considerar la recta tangente a$t(x)$por el punto$(x_{0},y_{0})$, que se vería$t(x) = y_{0} + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$. Lo que la curva tiene la propiedad de que, cada línea tangente cruza la$x$eje de$x_{0}-1$, es decir,$$t(x_{0}-1)=0$$Lo de la curva puede hacer esto? Sólo$y=C\exp(x)$...donde$C$ es alguna constante distinto de cero.

Para una completa derivación, ver http://pqnelson.wordpress.com/2012/06/03/exponential-function/

Answer 4

No se puede construir cualquier número real geométricamente. Ni siquiera todos los computable. Si usted no desee considerar funciones, usted podría (esta es una especie de trampa) buscar en $\lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac 1 n)^n$ como el volumen de un tamaño adecuado hipercubo como la dimensión aumenta.

Answer 5

Voy a tomar mi comentario en la respuesta de Alex Nelson y hacerlo en una respuesta, a pesar de que es en realidad la misma respuesta reformulada. Pero voy a empezar a prevenir la predicción comentario "yo diría que se trata de una forma de reconocer $e$, no la construcción de $e$" por la lucha contra los que, incluso si uno proclama que la construcción de un punto a una distancia determinada a lo largo de una línea curva es una operación válida, uno todavía no puede construir de $\pi$ con regla y compás: uno sólo puede reconocer como la distancia alrededor de un círculo de diámetro de 1 $$ necesario para llegar al punto diametralmente opuesto al punto de partida.

Obviamente necesitamos un poco de no-regla y compás ingrediente para la construcción de $e$. Voy a tomar esto a la gráfica de alguna función exponencial, junto con su única asíntota: decir en algún sistema de coordenadas en el que la asíntota es la $x$-eje nos da el conjunto de puntos $(x,^x)$ $a>1$ (ni la unidad de longitud del sistema de coordenadas ni el valor de $a$ la necesidad de ser conocido; la $x$-eje es, por supuesto, determinada por la gráfica, pero me gustaría tener dificultad para dar una construcción de la misma).

Aquí es el de la construcción: elegir un punto $P$ en el gráfico, encontrar el punto de intersección de $Q_0$ de la línea tangente a la gráfica en $P$ con $x$-eje. Luego de tomar perpendiculares a la $x$-eje a través de $P$ y $Q_0$ que cruzan la $x$-eje en $P_0 de dólares, respectivamente, en la gráfica de la$Q$, uno tiene$\frac{PP_0}{QQ_0}=e$.