Ahora mismo estoy estudiando cálculo.
Si la diferencia entre cada número real y el siguiente es un infintesimal, entonces no sería la siguiente secuencia $\{0\,dx, 1\,dx, -1\,dx, 2\,dx, -2\,dx, \ldots\}$ sea un conjunto de todos los números reales?
Pero me enseñaron que no se puede hacer una secuencia de todos los números reales. ¿Alguien es un mentiroso aquí?
Parece que se sugiere aquí que la secuencia $n\,dx$ para $n=1,2,3,4,\ldots$ debe contener todos los números reales positivos. A los matemáticos actuales esto les parecerá extraño y a primera vista absurdo, por varias razones:
A pesar de ser una heurística inmensamente útil, que vale la pena aprender y utilizar, pensar en $dx$ como un infinitesimal, que no suele tomarse literalmente al hacer razonamientos matemáticos hoy en día.
Los infinitesimales no son números reales, y $dx, 2\,dx, 3\,dx, \ldots$ son infinitesimales.
No todos los infinitesimales están incluidos en la secuencia; por ejemplo, se podría preguntar por $1.3\,dx$ o $dx/20$ etc.
Entre los números $n\,dx$ aparentemente propuesto para ser incluido en la secuencia, cada número entero $n$ es finito, por lo que cada miembro de la secuencia es infinitesimal, por lo que ningún número no infinitesimal, como $1$ se alcanzará alguna vez.
Si se permitiera algún tipo de entero infinito en el papel de $n$ de modo que para algún valor infinitamente grande de $n$ el número $1$ eran iguales a $n\,dx$ entonces la "secuencia" no sería una secuencia en el sentido en que se entiende ese término cuando se dice que ninguna secuencia contiene todos los números reales. Cada término de una secuencia, en que sentido de la palabra secuencia tiene sólo un número finito de términos antes de ella.
De hecho, hay algunos sistemas en los que se puede hacer cálculo con infinitesimales que son coherentes con los modos de pensamiento estándar actuales. Uno de ellos es el análisis no estándar de Robinson. En el sistema de Robinson, uno podría considerar el conjunto $\{n\varepsilon: n=1,2,3,\ldots \}$ , donde $n$ pasa por la lista de enteros positivos no estándar, que incluye algunos enteros infinitos. Entonces cada número real estaría al menos infinitamente cerca de algunos términos de esta "secuencia" -- más de uno de ellos. Supongamos que se elige un número entero infinitamente grande $n$ tal que $n\varepsilon$ difiere de $\pi$ por un infinitesimal. Entonces $(n\pm1)\varepsilon$ , $(n\pm2)\varepsilon$ etc., también se diferenciaría de $\pi$ por una cantidad infinitamente pequeña, siempre que el número después de " $\pm$ " es finito. Eso no significa que $\pi$ aparecerían en la secuencia; más bien $\pi$ podría estar en algún lugar entre $n\varepsilon$ y $(n+1)\varepsilon$ . Y para valores suficientemente grandes de $n$ el número $n\varepsilon$ sería infinitamente grande, es decir, mayor que todos los números reales. Robinson y sus seguidores llaman a algo así una "secuencia" y son capaces de aplicar algunos de los mismos modos de razonamiento que normalmente aplicamos a lo que normalmente llamamos secuencias, pero dentro del sistema de Robinson ninguna secuencia de este tipo agota el conjunto de números reales no estándar, ya que por ejemplo muchos números reales no estándar están entre $n\varepsilon$ y $(n+1)\varepsilon$ .
Apéndice, citando una respuesta anterior que publiqué:
¿Qué es? $dx$ en la integración?
comenzar a cotizar
Leibniz, que introdujo esta notación en el siglo XVII, pensó en $dx$ como un incremento infinitamente pequeño de $x$ y, al menos como heurística, es una idea inmensamente útil.
Sin embargo, hay que tener en cuenta otros puntos:
fin de la cita
La afirmación correcta no es:
en realidad es más bien:
Lo que has encontrado es un contraejemplo a ciertas formalizaciones de (1); no has encontrado un contraejemplo a la afirmación (2).
De hecho, has hecho más que esto. Esto es lo que has hecho: Dejar que $h$ denotan un número infinitesimal en cualquier extensión por infinitesimales $\mathbb{R}^*$ de la línea real $\mathbb{R}$ que usted prefiera. A continuación, $\mathbb{R}^*$ también tenderá a tener un subconjunto $\mathbb{Z}^*$ de elementos de tipo entero. Entonces tenderá a darse el caso de que para todo $x \in \mathbb{R}$ Hay un poco de $n \in \mathbb{Z}^*$ tenemos que $nh$ está infinitesimalmente cerca de $x$ . Esto implica que los elementos de $\mathbb{Z}^*$ no puede colocarse en una lista indexada por $\mathbb{N}$ . En otras palabras, ha demostrado que $\mathbb{Z}^*$ ¡tiene bastantes elementos!
Ahora un poco de historia. Dos de los descubrimientos más sorprendentes de la primera teoría de conjuntos fueron:
Algunos conjuntos tienen la propiedad de que sus elementos no pueden ponerse en un $\mathbb{N}$ -lista indexada. (Véase también: Teorema de Cantor).
Existe una generalización de los números naturales llamada números ordinales, y si permitimos que nuestras listas estén indexadas por números ordinales en lugar de naturales, entonces, sorprendentemente, todo conjunto $X$ ¡se puede poner en forma de lista! (Véase también: teorema del buen orden ).
Tanto el teorema de Cantor como el teorema del buen orden fueron muy controvertidos en su época. Le sugiero que busque en Google la historia de estas ideas, ya que es muy interesante.
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