Exterior Derivado Problema

Question

Supongamos $\theta$ es un diferencial $1$-forma definida en un colector y con valores en la Mentira de álgebra de Lie del grupo de $G$.

En $M\times G$ definir el $1$forma $ad(g)\theta$ donde $\theta$ se extiende por dejar que ser cero en el espacio de la tangente a $G$.

¿Cómo se puede calcular el exterior derivado $d(ad(g)\theta)$?

Por CIERTO: Para la matriz Mentira grupos esto es sencillo. ¿Cuál es el resumen de cálculo?

Answer 1

$\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}} \newcommand{\ad}{\mathrm{ad}} \newcommand{\lg}{\mathfrak g}$ Voy a usar las notaciones $\Ad : G \to L(\lg,\lg)$ e $\ad = d_e\Ad: \lg \to L(\lg,\lg)$ donde $\lg$ es la Mentira de álgebra de $G$.

Vamos a calcular $d(\Ad_g \circ \theta)(v+\xi,w+\eta)$ para los vectores $$v+\xi, w+\eta \in T_m M\oplus T_g G = T_{(m,g)}(M\times G).$$ Extend the vectors locally to fields. Then we have (noting that $\theta[v+\xi,w + \eta] = \theta[v,w]$ since $\theta$ is zero on $TG$)

$$ \begin{align} d(\Ad_g \theta)(v+\xi, w+\eta) &= (v+\xi)(\Ad_g \theta (w+\eta)) - (w+\eta)(\Ad_g \theta (v + \xi)) - \Ad_g\theta[v+\xi,w + \eta]\\ &= (v (\Ad_g \theta(w)) - w(\Ad_g \theta(v)) - \Ad_g \theta[v,w]) + \xi(\Ad_g \theta(w)) - \eta(\Ad_g \theta(v)). \end{align} $$

Ahora, tenga en cuenta que los derivados de la $TM$ direcciones conmuta con $\Ad_g$, por lo que el primer término es sólo $$\Ad_g (v \theta w - w \theta v - \theta[v,w]) = \Ad_g \circ d\theta(v,w).$$

Para el resto de los dos términos de la nota que la única $g$ dependencia aparece en $\Ad$, por lo que, por definición, de $\ad$ son sencillamente $\ad_\xi \theta w - \ad_\eta \theta v.$ no estoy seguro de si hay una agradable manera de expresar esta última parte: por ahora solo tenemos la expresión

$$ d(\Ad_g \circ \theta)(v+\xi, w+\eta) = \Ad_g \circ d\theta (v+\xi, w+\eta) + \ad_\xi \theta w - \ad_\eta \theta v.$$