Binomio de la serie con dos binomio coefficents

Question

Mi pregunta es: ¿esta fórmula matemática, es decir, en primer lugar? Es summable? $$\sum^{\infty}_{k=0}{n\choose k}{m\choose k} x^k$$

Answer 1

Sí, la fórmula matemática significado. Si $a$ e $b$ son números naturales, y $a\lt b$, el coeficiente binomial $\dbinom{a}{b}$ está definido para ser $0$. Por lo que la suma es, efectivamente, una suma finita.

Reamrks: La convención es útil en la simplificación de las fórmulas. Sin ella, en la fórmula del post, habría que especificar que la suma es $\min(m,n)$. En situaciones con más sumatorias, la convención puede hacer de una considerable serie de simplificaciones.

Answer 2

Es muy fácil comprobar que su suma sea igual al coeficiente de $z^m$ en el producto:

$$(1+xz)^n\,(1+z)^m.$$

Si establece $x=1$ usted puede encontrar una ligera generalización de los Chu-Vandermonde de identidad:

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{m}{k}\binom{n}{k}=\binom{m+n}{n}.$$

Answer 3

Es summable, como $\binom pk=0$ siempre $k\geq p$. (así que en la suma hay $\min\{m,n\}+1$ no-desaparición de términos.

Answer 4

Es summable y tiene una forma cerrada en términos de hipergeométrica función

$$F(-n,-m;\,1;\,x) \,.$$

La anterior función hipergeométrica se puede simplificar a un polinomio en los siguientes casos

1) si $n$ e $m$ son enteros no negativos.

2) si $n$ o $m$ es un número entero no negativo.