Cómo expresar $\max(x+y,0)$ en términos de $\max(\pm x, 0)$ e $\max(\pm y, 0)$

Question

Supongamos que definimos $X^+, X^-$ como $\max(X, 0)$ e $\max(-X, 0)$ respectivamente. Entonces, dado $Z = X + Y$, he estado tratando de averiguar cómo expresar $Z^+$ e $Z^-$ en términos de $X^\pm$ e $Y^\pm$, que supuestamente es posible.

Sé que $\max(x, y) = \frac{x+y+|x-y|}2$, y por lo $Z^+ = X^+ + Y^+ + \frac{|X+Y|-|X|-|Y|}{2}$, pero estoy seguro de qué hacer con este término, me parece que no puede averiguar cómo expresar en términos de las otras cantidades. He considerado romper él de dominio $X, Y$ en las regiones donde la $X+Y\ge 0$, $X\ge 0$ e $Y\ge 0$ y el flip-flop de los signos, pero esto parecía demasiado muchos casos a ser la verdadera solución.

Exactamente cómo hacer esto? Me parece que no puede ver.

Answer 1

Si sustituimos $X=t-1$ e $Y=t+1$, luego los mapas $t\mapsto X^\pm$, $t\mapsto Y^\pm$ tienen sus problemillas en $t=\pm1$. Quieres construir a partir de estos una función con una torcedura en $t=0$. Esto no es posible con primarios funciones solo

Answer 2

Uno no puede expresar $(X+Y)^+$ solo en términos de $X^\pm$ e $Y^\pm$, y de la misma manera $(X+Y)^-$, pero se pueden expresar los dos juntos: $$ (X+Y)^+ - (X+Y)^- = X + Y = (X^+ X^-) + (Y^+ - Y^-). $$ (La parte (b) de que el ejercicio de Rosenthal el libro de clase de la da.)