Usted está jugando un juego de apuestas justo, es decir, cada ronda gana 1 dólar con probabilidad 0,5 o pierde 1 dólar con probabilidad 0,5. Usted juega un total de $T$ rondas en una partida. Supongamos que, en retrospectiva, siempre dejas la partida cuando tienes las mejores ganancias posibles para esa partida, entonces ¿cuáles son tus ganancias esperadas?
La respuesta a esto es O( $\sqrt{T}$ ). Todavía no puedo entender por qué. ¿Alguna sugerencia?
Se trata, en definitiva, de una cuestión sobre paseos aleatorios, y este problema está muy relacionado con la Segunda Identidad de Wald; la identidad de Wald establece que si $\{X_i\}$ son iid con $\mathbb{E} X_i = 0$ y $\text{Var}(X_i) = 1$ entonces para cualquier tiempo de parada $T$ tenemos $$ \mathbb{E} (S_T^2) = \mathbb{E}(T),$$ donde $S_k = \sum_{i = 1}^k X_i$ . En su caso, el $X_i$ son variables aleatorias de Rademacher, es decir $\mathbb{P}(X_i = 1) = \mathbb{P}(X_i = -1) = \frac{1}{2},$ que, efectivamente, tienen medios $0$ y la varianza $1$ .
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