¿Qué tan rápido esta creciendo: $f(x) =\sum\limits_{i=1}^{\infty} \dfrac{x^i}{i!^{1/2}}$ real $x$?

Question

¿Qué tan rápido esta creciendo: $$f(x) =\sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{x^i}{i!^{1/2}}, \qquad x\in\mathbb{R}?$$

Es más rápido que el de $e^{x^2}$? Si no me equivoco, el de la Campana de los números de crecer lo suficientemente rápido como tal que $f(x)$ es, al menos, más lento, a continuación,$e^{e^{x}-1}$.

Tal vez la solución de $x^n = n!^{1/2}$ es relevante ?

Answer 1

Cuando $x\to+\infty$, $f(x)$ se comporta como $\mathrm e^{x^2/2}$ en el sentido de que $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\log f(x)}{x^2}=\frac12.$$

Para probar esto, fix $x\gt0$. Para cada $n\geqslant1$, $(2n+1)!\geqslant(2n)!\geqslant(2n-1)!$, por lo tanto $$\frac{x^{2n-1}}{\sqrt{(2n-1)!}}+\frac{x^{2n}}{\sqrt{(2n)!}}\geqslant a_nx^{2n}(1+1/x),$$ y $$\frac{x^{2n}}{\sqrt{(2n)!}}+\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{(2n+1)!}}\leqslant a_nx^{2n}(1+x),$$ con $$a_n=\frac1{\sqrt{(2n)!}}.$$ Sumando los más de $n\geqslant1$ rendimientos $$\sum\limits_{n\geqslant1}a_{n}x^{2n}(1+1/x)\leqslant f(x)\leqslant x+\sum\limits_{n\geqslant1}a_nx^{2n}(1+x).$$ Para cada $n\geqslant1$, $4^n(n!)^2\geqslant(2n)!\geqslant4^{n-1}((n-1)!)^2$, por lo tanto $$\frac1{2^{n}(n!)}\leqslant a_n\leqslant\frac1{2^{n-1}(n-1)!},$$ y $$(1+1/x)(\mathrm e^{x^2/2}-1)\leqslant f(x)\leqslant x+(1+x)x^2\mathrm e^{x^2/2}.$$ Esto implica que el resultado se indicó anteriormente.