Determinar los valores de $k$ de modo que el siguiente sistema lineal tiene soluciones únicas, infinitas y ninguna.

Question

Determinar los valores de $k$ de modo que el siguiente sistema lineal tiene una solución única, infinitas soluciones y ninguna solución.

$2x + (k + 1)y + 2z = 3$

$2x + 3y + kz = 3$

$3x + 3y 3z = 3$

He intentado utilizar el determinante de la matriz para resolver pero me he atascado.

\begin{bmatrix} 2 & k+1 & 2 \\ 2 & 3 & k \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}

He encontrado que el determinante es $3(k^2-3k+2)$ que estoy bastante seguro de que es correcto.

Sin embargo, ahora empiezo a confundirme con qué hacer con el determinante. He leído algunas de las preguntas aquí, pero simplemente no lo entiendo - resolver igual a $0$ da $k=1$ y $k=2$ pero, ¿cómo interpreto estos valores?

Answer 1

Algunas ideas:

Sea $A$ sea la matriz de coeficientes de su sistema, $A = A(k)$ , $\mathbf{b}$ el vector de términos independientes y $\mathbf{x} = (x,y,z)^T$ el vector de incógnitas. Entonces, tienes un sistema lineal como:

$$ A \, \mathbf{x} = \mathbf{b}, $$ con matriz aumentada $(A\vert \mathbf{b})$ . Entonces, el Rouché-Fröbenius teorema nos dice que:

• Si $n = \mathrm{rank}(A)$ donde $n = 3$ en su caso, entonces la solución es única.
• Si no, hay infinidad de soluciones.

Si $\det{A}(k) = 0$ para los valores válidos de $k$ (usted les mostró ser $k \neq 1 \wedge 2 $ ), entonces la solución es único y, puesto que $A$ es invertible, viene dada por $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$ . Lo contrario no siempre es válido, ya que para $k = 1$ por ejemplo, la primera y la tercera fila coinciden y, entonces, el sistema tiene infinitas soluciones, dadas por:

$$\begin{align} & 2x + 3y + z = 3 \\ & 3x + 3y 3z = 3 \\ \end{align}$$ Ponga $x = x(z)$ y $y = y(z)$ y obtendrás las ecuaciones para una línea recta. Haznos saber lo que ocurre para $k = 2$ .

¡Salud!

Answer 2

Si el determinante no es cero entonces la matriz es invertible, por lo que existe una solución única al sistema $Ax = b$ dada por $x = A^{-1}b$ . Si el determinante es cero entonces la matriz es singular significa que su núcleo no es igual a $\{0\}$ . Ahora hay dos casos, si $b = (3,3,3)$ es a imagen de $A$ entonces existe al menos una solución $x_0$ y $x_0 + v$ es una solución para cada $v$ en el núcleo, es decir, existen infinitas soluciones (tómese cualquier $v\neq 0$ entonces $x_0 + \lambda v$ es una solución para cada $\lambda \in \mathbb{R}$ ). Si $b$ no es a imagen y semejanza de $A$ entonces no hay solución.