Una identidad de la serie q que sale de Ramanujan Integral

Question

Al intentar resolver una integral de Ramanujan , parece que debemos establecer esta identidad de serie$q$ -:$$1 + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(1 - q^{2})(1 - q^{4})\cdots(1 - q^{2n})} = \frac{(1 - q^{2})(1 - q^{4})(1 - q^{6})\cdots}{1 + q + q^{3} + q^{6} + q^{10} + \cdots}$ $ ¿Hay alguna prueba simple disponible para esto?

Answer 1

Bueno esta fue fácil. Me pregunto cómo podría extrañar esto. De la expansión de Euler de$(a;q)_{\infty}$ tenemos$$(a;q)_{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n - 1)/2}a^{n}}{(q;q)_{n}}$$ Replacing $ q$ by $ q ^ {2}$ and then putting $ a = q$ we get $$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(q^{2};q^{2})_{n}} = (q;q^{2})_{\infty}$ PS