Valores propios en términos de traza y determinante para matrices mayores de 2 X 2

Question

Los valores propios de a $2\times2$ se puede expresar en términos de la traza y el determinante.

$\lambda_\pm = \frac{1}{2}\left(\textrm{tr} \pm \sqrt{\textrm{tr}^2-4\det}\right)$

¿Existe una fórmula similar para matrices de mayor dimensión?

Acérquese a

La traza y el determinante de una matriz son iguales a la traza y el determinante de la matriz en forma normal de Jordan. Para una matriz en forma canónica de Jordan, $\textrm{tr } =\sum \lambda$ y $\det =\prod \lambda $ .

Sustituyendo estas dos últimas identidades en la primera se obtiene una identidad, que es alentadora. No estoy seguro de cómo comprobar esta suposición para matrices más grandes. No estoy seguro de cómo generar más de dos valores propios a partir de la primera fórmula. Para la $3\times3$ caso, la primera fórmula parece romperse.

Answer 1

Para un $2\times2$ matriz, $\operatorname{tr}$ y $\det$ son los invariantes de la matriz que son los coeficientes del polinomio característico.
Para un $3\times3$ hay los mismos invariantes y otro, dado por $$ \frac{1}{2}\left[(\operatorname{tr}A)^{2}-\operatorname{tr}(A^{2})\right] $$ pero expresar los valores propios en términos de invariantes significa resolver una ecuación cúbica.

Para dimensiones superiores existen otros invariantes, pero la resolución de una ecuación polinómica no puede hacerse mediante una fórmula general para $n\geq5$ .

Answer 2

Lo hay si se generaliza de forma correcta. La ecuación característica $\lambda^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_i\lambda^i=0$ puede expresarse con coeficientes en términos de la traza y el determinante de la matriz, pero como $n$ crece, esto se vuelve extremadamente laborioso. Por favor, vea esto Artículo de Wikipedia .

Son de especial interés $c_{n-1}=-\DeclareMathOperator{\tr}{tr} \tr(M)$ y $c_0=(-1)^n\det(M)$ .