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Question

PS

¿Alguna idea sobre cómo abordar este problema con métodos elementales? La respuesta debe ser $$\lim_{n\to \infty}n\int_2^e{(\ln x)^n}dx$ .

Probé con el teorema del valor medio para las integrales definidas que $e$ $

Y probé $$\lim_{n\to \infty}\int_2^e{(\ln x)^n}dx=0$ pero sin uso.

Answer 1

Al integrar por partes ( $u'(x) = \frac{(\ln x)^{n}}{x}$ , $v(x) = x$ ) tenemos $$ \int (\ln x)^n dx = \frac{(\ln x)^{n+1} x}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int (\ln x)^{n+1} dx$ $ $$ n\int_2^e (\ln x)^n dx = \frac{n\big(e- 2(\ln 2)^{n+1})\big)}{n+1} - \frac{n}{n+1} \int_2^e (\ln x)^{n+1} dx$ $ $$ \lim_{n\rightarrow\infty} n\int_2^e (\ln x)^n dx = e - \lim_{n\rightarrow\infty} \int_2^e (\ln x)^{n+1} dx$ $ y ya ha demostrado que el segundo término es $0$ .

Answer 2

Tu idea fue buena. Usando $x=e^t$ , terminamos con $$I_n=\int \log^n(x) \,dx=\int e^t\, t^n\,dt=(-1)^{-n} \,\Gamma (n+1,-t)$ $ donde aparece la función gamma incompleta.

Entonces, la integral definida es $$J_n=\int_2^e \log^n(x) \,dx==(-1)^{-n} \, \big(\Gamma (n+1,-1)-\Gamma (n+1,-\log (2))\big)$$ Using the asymptotics, since $ \ log (2) <1 $ , debes tener $$J_n \sim \frac e n -\frac {2e}{n^2}$ $ y luego tu resultado.