Permítanme reformular su pregunta en una forma que es más fácil de responder. El número de irreps es la cardinalidad de una base ortonormales de $L^2(G)$, donde $G$ es el grupo de bajo consideración. Así, vamos a razonar en términos de $L^2$ espacios.
Definición. Deje $\Omega$ ser un conjunto y deje $d\mu$ ser una medida en ella. Dejamos $L^2(\Omega)$ denota el espacio vectorial de todas las funciones $f\colon \Omega\to \mathbb C$ con la propiedad de que
$$\etiqueta{1}
\int_{\Omega}|f(x)|^2\, d\mu <\infty.$$
En el siguiente consideramos $\Omega=\{1, 2, \ldots, n\}$, con el "recuento de medida", lo que significa que (1) se lee
$$
\int_{\{1, 2, \ldots, n\}} |f(k)|^2\, d\mu = \sum_{k=1}^n |f(k)|^2, $$
y no hay necesidad de requerir la finitud, ya que sólo una suma finita. Dado un vector en $\mathbb C^n$ puede ser interpretado como una función de $\{1, 2, \ldots, n\}$ a $\mathbb C$, podemos ver que $L^2(\{1, 2, \ldots, n\})$ es sólo un aficionado forma de escribir $\mathbb C^n$.
También consideramos $L^2(0, 1)$, en cuyo caso la medida es el estándar de la medida de Lebesgue en $(0,1 )$.
Usted ha notado que $\mathbb C^n=L^2(\{1, 2, \ldots, n\})$ admite una base ortonormales hecho de $\lvert \{1, 2, \ldots, n\}\rvert$ elementos, y esto llevó a conjeturar que $L^2(0, 1)$ debe tener una base ortonormales hecho de $\lvert (0, 1) \rvert$ elementos. Sin embargo, esto es falso, como bases ortonormales de $L^2(0, 1)$ son contables; un ejemplo de ello es el trigonométricas de sistema de $\{e^{2\pi i xk}\ :\ k\in\mathbb Z\}$.
La razón de esta discrepancia es que los dos tipos de bases ortonormales son profundamente diferentes. En el caso de $\mathbb C^n$, estamos hablando de un algebraicas , mientras que en el caso de $L^2(0,1)$ hay muchos más elementos a tener en cuenta. En primer lugar, los elementos de $L^2(0,1)$ no son sólo funciones de $(0,1)$ a $\mathbb C$, como en lo finito-dimensional caso; también deben satisfacer bastante estrictos requisitos (ser medibles y cuadrado integrable). Esto elimina una gran cantidad de funciones, la reducción drástica de la cardinalidad de una base posible. Por otra parte, la base en sí no es una expresión algebraica, es lo que implica finito de sumas de dinero, por lo que se requiere la introducción de una topología.
Una nota final. Usted pregunta si las irreps siempre son las funciones propias de algún operador. Creo que la respuesta es verdadera, pero no lo sé seguro. La palabra clave para la búsqueda es "operador de Casimir". Para $SO(n)$, se trata del operador de Laplace-Beltrami en la esfera, que de hecho tiene un espectro discreto. En los comentarios, que sugieren que este es un fenómeno general. Bien puede ser, pero no sé si es un hecho general de que un operador de Casimir (lo que es) es la de Laplace-Beltrami para algunos de Riemann compacta colector.
Lo que me gustaría apostar en es: la misma compacidad mecanismo que es responsable de la discretitud del espectro de un pacto de Riemann colector es responsable de la discretitud de irreps de Peter-Weyl del teorema. Para estar seguro, uno debe ir a través de la prueba de Peter-Weyl y mira esto.
Nota Final: usted dice "discretitud del espectro para delimitada geometrías"; me han interpretado esto, en términos matemáticos, como "discretitud del espectro de un pacto de Riemann colector".
