¿Cómo es que el $\epsilon-\delta$ ¿Se prefiere la definición de continuidad a la definición secuencial de continuidad?

Question

Personalmente he encontrado que las cosas son mucho más fáciles de probar usando las secuencias en lugar de la $\epsilon-\delta$ método. Entiendo que el $\epsilon-\delta$ es más intuitivo, pero es bastante difícil demostrar que una función es continua en $x_0 \in D$ ya que implica encontrar una función que tome $\epsilon$ y $x_0$ como argumentos y produce unos $\delta>0$ o, al menos, demostrar que dicha función existe. Este problema es aún más frecuente cuando se demuestra que una función es uniformemente continua. En todos mis problemas de tarea que implicaban continuidad uniforme, siempre intentaba utilizar el $\epsilon-\delta$ definición, pero siempre fallaba. Al buscar la solución, las pruebas son bastante confusas y complejas. Entonces pasaba a la definición de secuencia y conseguía resolver el problema rápidamente. Mi profesor dice que la comunidad matemática, sin embargo, se refiere a la $\epsilon-\delta$ definición, así que tengo curiosidad por saber por qué cuando es un camino más difícil.

Estas son las definiciones.

Para una función $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ ,

Continuidad : $f$ es continua en $x_0 \in D$ si para cualquier secuencia $(x_n)$ en $D$ donde $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ se deduce que $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)=f(x_0)$ .

Continuidad uniforme: $f$ es uniformemente continua si para cualquier secuencia $(u_n),(v_n)$ en $D$ donde $\lim_{n \rightarrow \infty} (u_n-v_n)=0$ se deduce que $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(u_n)-f(v_n))=0$ .

Un ejemplo de esto es probar la función $f:[0,1) \rightarrow \infty$ donde $f(x)=\frac{1}{1-x}$ es no uniformemente continua. Me resultó muy difícil demostrarlo utilizando el $\epsilon-\delta$ La definición secuencial, y las pruebas que encontré en Internet eran bastante confusas y definitivamente no habría llegado a ellas por mí mismo. Sin embargo, la definición secuencial era muy sencilla. Simplemente utilicé las secuencias $u_n=1-\frac{1}{n^2}$ y $v_n=1-\frac{1}{n}$ . Las diferencias de las secuencias convergen a 0, y las diferencias de la imagen de las secuencias divergen a $\infty$ . $0 \not = \infty$ y por lo tanto $f$ no es uniformemente continua.

Otro ejemplo es demostrar que cualquier función continua cuyo dominio es un intervalo cerrado es uniformemente continua. No hay manera de que se me ocurra una forma de demostrar esto usando la $\epsilon-\delta$ definición, pero definitivamente podría usar la definición de secuencia.

Puede que me equivoque, pero creo haber leído una vez que para algunos espacios métricos, la continuidad y la continuidad secuencial no son equivalentes. Sin embargo, no sé mucho sobre ese asunto, pero me encantaría aprender sobre él.

Answer 1

Sólo para demostrar que no es en absoluto difícil o confuso para mostrar que $f \colon [0..1) → ℝ,~x ↦ \frac 1 {1 - x}$ es no uniformemente continua en el uso de la $ε$-$δ$definición de:

Desde $(0..1] → [0..1),~x ↦ 1 - x$ es uniformemente continua y uniforme de la continuidad es estable en la composición, que es suficiente para mostrar que $f \colon (0..1] → ℝ,~x ↦ \frac 1 x$ es no uniformemente continua.

Para esto, arreglar $ε = 1$. Entonces para cualquier $δ > 0$ con $δ < 1$, vamos a $x = δ$ e $x' = \frac δ 2$. Entonces claramente $|x - x'| < δ$, mientras que el $|1/x - 1/x'| = 1/δ ≥ 1 = ε$. Para $δ ≥ 1$, elija $x = 1$ e $x' = \frac 1 2$.

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Ahora respecto a tu pregunta. Para mostrar la equivalencia de las $ε$-$δ$-definición y la secuencia de definición de continuidad de las métricas de los espacios, se necesita el Axioma de Contables Elección. (Y para mostrar la equivalencia de la generalización de la vecindad y de definición de la red de definición, uno necesita todo el axioma de elección, creo.)

Es decir, la equivalencia no es constructivo. Esto ya deja claro que ninguno de los enfoques es en sí misma más útil para todos los casos, pero es la equivalencia de estos enfoques que es realmente útil: el Pensamiento de la no-forma constructiva es duro y tener dos lenguajes para hablar sobre el mismo fenómeno desde dos constructivamente separados de los lugares que ya han sido vinculados por un puente que salva a uno el esfuerzo de construcción de un nuevo puente cada vez parece útil para cambiar las perspectivas.

Filosóficamente, yo diría que el $ε$-$δ$-perspectiva de la continuidad y la continuidad uniforme de captura de estas nociones de manera más directa, mientras que la perspectiva de estas a partir de secuencias y la neta es más indirecta, como si dijera: "no Hay ningún contraejemplo de las secuencias, que son convergentes aquí, pero no hay. Tal cosa salvaje no existe!" Esto hace que esta perspectiva perfecto para el reino de contraejemplos. Las pruebas usando secuencias tienden a ser indirecta de las pruebas, el uso de contradicción. Es a menudo acerca de suponer que algo no es cierto y, a continuación, a menudo, no de manera constructiva, la elección de un contraejemplo de la secuencia.

El $ε$-$δ$-perspectiva, sin embargo, no sólo se generaliza más fácilmente a más espacios abstractos, yo también encontrará que es más fácil pensar conceptualmente. Por ejemplo, yo tenía un absurdamente difícil pensar en cómo probar que continua mapas son uniformemente continua en el compacto establece la hora de pensar en esta forma secuencial, mientras que es evidente a partir de la $ε$-$δ$-perspectiva. Tal vez es una cuestión de socialización, pero es más fácil para mí para ver las cosas desde esta perspectiva. Otro ejemplo sería el que se abren los subgrupos de topológicos compactos de los grupos (que son uniformes espacios) son exactamente cerrado subgrupos de índice finito. Es obvio a partir de esta perspectiva, no se mucho de la otra.

En resumen: espacios Topológicos pueden ser muy raro, lo de la teoría de la topología de un estudio de cosas raras. Si usted desea hacer la ordenada de la topología, entonces podría convertirse en un estudio acerca de cómo algunas cosas extrañas , no sucediendo. Que hace que el enfoque secuencial un poco más potente, aunque con menos conceptual.

Y cada vez que encuentro una extensión de esta equivalencia como la equivalencia de compacidad y compacidad secuencial, esperan que las pruebas no-constructiva.

Answer 2

Bueno, sólo estás sustituyendo la definición secuencial de un límite frente a un enfoque de vecindad, y luego aplicando eso a la continuidad. En cuanto a por qué no se hace eso en general, citaré a Anthony E. Labarre, Jr. Análisis matemático intermedio , página 67:

Por otro lado, destacamos que el enfoque de vecindad suele ser más conveniente en las investigaciones teóricas. De hecho, en el entorno abstracto de un espacio topológico, el "límite secuencial" y el "límite de vecindad" no son conceptos equivalentes y, además, el concepto de "límite secuencial" resulta inadecuado.

Los comentarios proporcionan algunos ejemplos de espacios topológicos en los que no son equivalentes.