Si$K$ es compacto, demuestre que$K$ tiene un mínimo y un máximo.

Question

Deje $X$ ser un vacío totalmente conjunto ordenado que no tiene un mínimo o un máximo y deje $T$ ser el fin de la topología en $X$. Deje $ K \subset X $ ser un subconjunto no vacío de $X$. Si $K$ es compacto, demostrar que $K$ tiene un mínimo y un máximo.

He intentado por contradiciton. Supongamos que $K$ no tiene máximo. A continuación, $ <- \infty, k> k \in K$ es una cubierta abierta de $K$ que no tiene finita subcover. Por lo que K cannit ser compacto. Es esto correcto?

Answer 1

Sí, la prueba es correcta, suponiendo que $\langle -\infty,k\rangle=\{x\in K:x<k\}$.

De hecho, si $x\in K$, $x$ no es el máximo, de modo que existe $k\in K$ con $x<k$; por lo tanto $x\in\langle -\infty,k\rangle$ y por lo tanto $$ \{\langle -\infty,k\rangle:k\K\} $$ is an open cover of $K$. No tiene finita subcover, porque $$ \langle -\infty,k_1\rangle\cup\langle -\infty,k_2\rangle\cup\dots\copa \langle -\infty,k_n\rangle=\langle -\infty,\max\{k_1,\dots,k_n\}\rangle $$ que no puede ser el todo de $K$, ya que no contienen el límite superior.