Cómo reducir un círculo a un punto que no es su centro

Question

Digamos que tenemos un círculo $C$ con un radio fijo $R$ en $\mathbb{R}^2$ . Una parametrización obvia al círculo sería:

$$C(t)=(R\cos(t),R\sin(t)) \\ t\in[0,2\pi]$$

Me interesa reducir el círculo a un punto. Si miramos el límite donde $R\to0$ sería fácil ver que el círculo se reduciría hasta el punto $(0,0)$ .

Sin embargo, estoy tratando de reducir el círculo a otro punto. Digamos, por ejemplo, que $R=2$ y quiero que el círculo se reduzca hasta el punto $P=(1,1)$ . Para ello, tengo que asegurarme de que a través del proceso, el punto $P$ estaría siempre dentro del área; por ello, debo tener otra parametrización del círculo (una que también me ayude a tomar un límite adecuado).

El problema es que no tengo ni idea de cómo hacerlo. He intentado dibujar un segmento desde el punto $P$ a algún punto genérico del círculo (y lo llamó $r$ ), y luego trató de parametrizar el círculo utilizando $r$ pero era un reto algebraico.

Así que me encantaría que me ayudaran con eso. Además, si se te ocurre una solución más fácil, ¡también me gustaría escucharla!

Gracias.

En resumen : Dado el punto $(x_0,y_0)$ encontrar una parametrización $C(R,r,t)$ de un círculo centrado en $(0,0)$ con radio $R\geq\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ , de tal manera que $t\in[a,b]$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ , $r$ es fijo y depende de $R$ (que es constante), y:

$$\lim_{r\to0} C(R,r,t)=(x_0,y_0)$$

Cuando $(x_0,y_0)$ es un punto dentro del círculo, en todo el proceso de encogimiento.

Answer 1

$$c(s,t)=(1-s)(x_0,y_0)+s(R \cos t,R \sin t)$$ Obras, cuando $s=1$ uno consigue el círculo y cuando $s=0$ se entiende el punto $P(x_0,y_0)$ . Para cada $s$ la cartografía $t\mapsto c(s,t)$ representa un círculo de centro $(1-s)(x_0,y_0)$ y el radio $sR$ . Y $P$ está dentro de este círculo si $P$ está dentro del círculo original.

Answer 2

Dado el círculo original

$\vec R(t) = (R\cos t, R\sin t), \tag 1$

y un punto

$\vec P = (P_x, P_y) \tag 2$

al que queremos "encoger" el círculo $\vec R(t)$ podemos introducir el "parámetro de contracción" $s$ y escribir

$\vec \phi(t, s) = (1 - s)\vec R(t) + s \vec P = \vec R(t) + s(\vec P - \vec R(t)), \; 0 \le s \le 1; \tag 3$

para $s = 0$ tenemos

$\vec \phi(t, 0) = \vec R(t), \tag 4$

el círculo original, mientras que cuando $s = 1$ encontramos

$\vec \phi(t, 1) = \vec R(t) + \vec P - \vec R(t) = \vec P; \tag 5$

como $0 \to s \to 1$ el punto $\vec \phi(t, s)$ se mueve desde el punto $\vec R(t)$ en el círculo dado al punto fijo $\vec P$ a lo largo del segmento de línea que une $\vec P$ con $\vec R(t)$ como tal, $\vec \phi(t, s)$ para $s > 1$ se encuentra claramente en el interior del círculo original $\vec R(t)$ esto se puede ver geométricamente a través de el hecho de que el segmento $\overline{ \vec P \vec R(t)}$ está contenida en una cuerda del círculo $\vec R(t), 0 \le t < 2\pi$ cuando $\vec P$ se encuentra dentro del círculo dado.