Multiplicadores y esquinas de $C^*$ -algebras

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sea $C^*$ -algebras. Supongamos que existe una proyección $p$ en $\mathcal{M}(B)$ el álgebra multiplicadora de $B$ , de tal manera que $A=pBp$ . Es decir, $A$ es una esquina de $B$ .

Pregunta: ¿Es cierto que la esquina $p(\mathcal{M}(B))p$ contiene el álgebra multiplicadora de $A$ (que vemos como una subálgebra de $B$ )? En otras palabras, ¿todos los multiplicadores de la esquina provienen de la esquina del álgebra multiplicadora?

Answer 1

Sí. Tenemos $$ M(A) = M(pBp) = pBp \subseteq pM(B)p. $$ La segunda igualdad se mantiene ya que $pBp$ es un álgebra C* unital.

Versión corregida: Hay un mapa obvio $\iota \colon pBp \hookrightarrow p M(B)p$ . Esta inclusión se extiende a la multiplicidad de álgebras $\bar \iota \colon M(pBp) \to pM(B)p$ . La ampliación existe desde $\iota$ es no degenerado. En efecto, si $(e_n)$ es una unidad aproximada para $B$ entonces $pe_np \to p$ estrictamente, que es la unidad de $pM(B)p$ . Además, está claro que $\bar \iota$ sigue siendo inyectiva.