Resolver un acertijo con álgebra

Question

Hay un enigma y creo que puede ser resuelto por el álgebra - por favor, ayuda

Un niño tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene sólo la mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la familia?

Aquí está el álgebra, pero estoy atascado

$b=brother$

$s=sister$

$t=total$

el niño tiene tantos hermanos como hermanas

$b + b + s = t$

cada hermana tiene sólo la mitad de hermanas que de hermanos

$s + s + b = t$

$s + \frac{1}{b} + b = t$

Por lo tanto,

$b + b + s = s + \frac{1}{b} + b$

$2b + s = s + \frac{3b}{2}$

$2b = \frac{3b}{2}$

$4b = 3b$

Por favor, ayuda.

Answer 1

$b$ = número de chicos = número de hermanos que tiene cada chica

$g$ = número de chicas = número de hermanas que tiene cada chico

$b-1$ = número de hermanos que tiene cada niño

$g-1$ = número de hermanas que tiene cada chica

$$b-1 = g, \qquad (\text{Equation 1})$$

$$g-1 = \dfrac{b}{2}, \qquad (\text{Equation 2})$$

Enchufar para $g=b-1$ en la segunda ecuación:

$$b-1-1 = \dfrac{b}{2} \Longrightarrow b=4, g=3$$

Answer 2

Aunque probablemente no sea intencionado, este problema tiene dos soluciones diferentes. Si se asume que hay $s>0$ hermanas, el niño también tiene $s$ hermanos haciendo $s+1$ chicos en total. Cada chico es hermano de alguna de las chicas, y cada uno tiene $s-1$ hermanas, la ecuación $s+1=2(s-1)$ resuelve fácilmente a $s=3$ (cuatro niños y tres niñas en total).

Sin embargo, la pregunta no dice que $s\neq0$ El niño no tiene por qué tener hermanas. En ese caso cada una de las hermanas tiene (lo que sea) es verdadero; no hay hermanas por lo que es vacuamente verdadero. Así que $s=0$ es otra solución: una familia con un niño y ninguna niña. Técnicamente, en este caso no hay hermanos en la familia (que es lo que se preguntaba), ya que el único niño que hay no es ni hermano ni hermana. En realidad, hoy en día esta es la solución más probable, creo yo.

Answer 3

El problema es que estás usando $b$ para el número de hermanos del chico y también para el número de hermanos de la chica.

En cambio, digamos que hay $b$ niños y $g$ chicas. Entonces un chico tiene $b-1$ hermanos, así que $$g=b-1.$$ Asimismo, $$g-1=b/2.$$

Answer 4

Creo que lo más fácil sería hacer

$b =$ número de niños

$g =$ número de niñas y el esencial La perspicacia es notar:

Un niño tiene $b-1$ hermanos y $g$ hermanas, y una chica tiene $b$ hermano y $g-1$ hermanas.

Así que "Un niño tiene tantas hermanas como hermanos" significa $b-1 = g$ .

Y "cada hermana tiene sólo la mitad de hermanas que de hermanos" significa $g-1 = \frac 12 b$

Así que resuelve las dos ecuaciones dos incógnitas:

$b-1 = g$

$g-1 =\frac 12 b$

......

Si quieres usar variables para los hermanos y hermanas puedes hacer

$b_b =$ número de hermanos que tiene un niño

$b_g =$ número de hermanos que tiene una niña

$s_b =$ número de hermanas que tiene un niño y

$s_g =$ número de hermanas que tiene una chica.

Entonces nuestro acertijo es $b_b = s_b$ y $s_g = \frac 12 b_s$ .

Pero para solucionarlo necesitamos no la no declarada pero esencial una chica tiene $1$ menos hermana que un chico, y un chico tiene un hermano menos que una chica. Así que

$b_b = b_g -1$ y $s_g = s_b - 1$ .

Así que resuelve las cuatro ecuaciones cuatro incógnitas

$b_b = s_b$

$s_g = \frac 12b_s$

$b_b = b_s -1$

$s_g = s_b - 1$ .