Encuentre todos los valores de $r$ si $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^r)^r} =1. $

Question

Encuentra todos los valores de $r$ si $$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^r)^r} =1. $$

He encontrado un valor de $r$ por un método de fuerza bruta. Utilizo la sustitución $x^r=\tan^2 t$ para convertir la integral requerida como: $$J=\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^r)^r}= \frac{2}{r} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{(2/r-1)} t~~ \cos^ {(-2/r+2r-1)}t ~ dt~(*)$$ y forzar $-2/r+2r-1=1$ en (*). Obtengo dos valores de $r$ como $r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $r_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Observando que $J$ diverge para $r^2<1$ Rechazo $r_2$ , entonces para $r=r_1$ , compruebo que $J=1$ . ¿Puede haber un enfoque mejor para resolver esta cuestión? ¿Hay otros valores de $r$ ?

Answer 1

El siguiente paso podría ser convertir su Ec. (*) mediante el uso de la beta-integral en términos de las fumciones gamma como $$ J(r)=\frac{1}{r}~ \frac {\Gamma(r-1/r) ~\Gamma(1/r)}{\Gamma(r)}, r>1, ~ \Gamma(z+1)= z \Gamma(z).~~~~(1)$$ Al establecer $(r-1/r)=1$ en (1), obtenemos dos raíces $r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=r_1$ y $\frac{1-\sqrt{5}}{2}=r_2$ . Descuidando $r_2$ de (1), obtenemos $J(r_1)=1.$ Es fácil darse cuenta de que $J(\infty)=1.$ Además, es necesario demostrar la unicidad de $r$ . Para ello, el siguiente gráfico podría ayudar.