Nociones básicas sobre los derivados

Question

En primer lugar, soy principiante en cálculo y este problema me resultó complicado.

Denote $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$ para cualquier función $x(t)$ del tiempo $t$ . Considere la igualdad

$$\dot{y}=c \frac{\dot{x}}{x},$$

donde $y=:y(t)$ y $x=:x(t)$ . Mi primera pregunta es: sostiene que

$$\frac{d\dot{y}}{d\dot{x}}=c/x$$ o debo tener en cuenta que $\dot{y}=f(\dot{x},x)$ y $\dot{x}=g(x)$ ?

Además, me gustaría saber cómo tratar la segunda derivada

$$\frac{d^2\dot{y}}{d\dot{x}^2}.$$

Por último, para alguna función $h$ ¿es correcto que $\frac{dh(x)}{d\dot{x}}=\frac{dh}{dx}\frac{dx}{d\dot{x}}$ siempre y cuando $\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{d\dot{x}}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\ddot{x}}{\dot{x}}$ ¿existe?

Gracias de antemano.

Answer 1

En tu primera ecuación supongo que quieres obtener algo como $$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{c}x?$$ Esto supone que $x$ puede tomarse como parámetro independiente. El $t-x$ puede invertirse en segmentos monótonos de la función $x(t)$ .

Suponiendo que $\dot x$ es (localmente) adecuado como parámetro independiente, se obtendría $t$ en función de $\dot x$ y por lo tanto $$\frac{d\dot y(t(\dot x))}{d\dot x}=\ddot y\frac{dt}{d\dot x}$$ y en el otro lado es igual a $$=\frac{d}{\dot x}\frac{c\dot x}{x(t(\dot x))}=\frac{c}x-\frac{c\dot x^2\frac{dt}{d\dot x}}{x^2}.$$ Esto no se parece mucho a lo que querías conseguir. Después de lo que esperabas, viene algún otro término que expresa que $x$ no es constante a lo largo de las vías de solución.