Si , entonces .

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema, de un pasado de análisis examen de calificación:

Deje $f(x)$ ser un no-negativo medibles función definida en $[0,1]$. Supongamos que existe una constante $M$ tales que $$\int_0^1f^k(x)\;dx\le M$$ for all $k\ge1$. Prove that $m(\{x\in[0,1]:f(x)>1\})=0$. (Note that $m$ es de la medida de Lebesgue)

Me parece que no puede averiguar cómo este límite en el integral me ayuda. Justo después de mi nariz, vamos a $E=\{x\in[0,1]:f(x)>1\}$. Entonces $$m(E)=\int\chi_E(x)\;dx<\int f(x)\chi_E(x)\;dx\le\int f^k(x)\chi_E(x)\;dx$$ $$\le\int_0^1 f^k(x)\;dx\le M.$$

Claramente este no es el camino para ir, ya que me gustaría mostrar que $m(E)=0$. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $m(E)>0, E=(\{x\in[0,1]:f(x)>1\}$. Deje $E_n=m(\{x\in[0,1]:f(x)>1+{1\over n}\})$, $E=\cup_nE_n$ implica que $m(E)=lim_nm(E_n)$ desde $E_n\subset E_{n+1}$. Esto implica que existe $N$ tal que $A=\mu(E_N)>0$.

$\chi(E_N) f^k\leq f^k$ implica que $\int\chi(E_n)f^k\geq A(1+{1\over N})^k\leq M$ para cada entero $k$. Contradicción.

Answer 2

$$\int f^k(x)dx = \int f^k(x) 1_{\{y:f(y)\leq 1\}}(x) dx+\int f^k(x) 1_{\{y:f(y)>1\}}(x) dx \leq M $ $ De los teoremas de convergencia limitada y monótona de Lebesgue que obtenemos (aplicados a la segunda y primera integral) $$m(\{y: f(y) = 1\})+\int\lim_{k\to\infty} f^k(x) 1_{\{y: f(y)> 1\}}(x) dx =\\m(\{y: f(y) = 1\})+ \infty\cdot m(\{y: f(y)> 1\})\leq M \implies m(\{y: f(y)\geq 1\}) = 0 $$ Because otherwise the left hand side of the inequality would be infinity. Note that $ m (\ {y: f (y) = 1 \}) <\ $ infty .