- Cómo Integrarse

Question

Intenté resolverlo con la descomposición parcial de fracciones, pero la expresión se vuelve demasiado difícil de resolver. Solo pude resolver tres de las seis expresiones (AF) de la expansión de fracción parcial.

Answer 1

$\frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = \frac {A}{x+1} + \frac {B}{x+2} + \frac {C}{(x+2)^2} + \frac {D}{x+3} + \frac {E}{(x+3)^2} + \frac F{(x+3)^3} $

Aquí hay un pequeño truco.

Multiplicar comedero por $(x+1)$

$\frac{(x+1)}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = A + \frac {B}{x+2}(x+1) + \frac {C}{(x+2)^2}(x+1) + \frac {D}{x+3}(x+1) + \frac {E}{(x+3)^2}(x+1) + \frac F{(x+3)^3}(x+1) $

Y tomar el límite cuando x se aproxima a $-1$

$\lim_\limits{x\to -1} \frac{(x+1)}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = \frac {1}{(1^2)(2^3)} = \frac 18 = A$

Podemos hacer algo similar para encontrar rápidamente a $C, F$

$\lim_\limits{x\to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = C$

$\lim_\limits{x\to -3} \frac{(x+3)^3}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = F$

Que sale de B, D, E

Multiplicando por $(x+2)^2$ y la simplificación de la LHS

$\frac{1}{(x+1)(x+3)^3} = \frac {A}{x+1}(x+2)^2 + B(x+2) + C + \frac {D}{x+3}(x+2)^2 + \frac {E}{(x+3)^2}(x+2)^2 + \frac F{(x+3)^3}(x+2)^2$

Si tomamos la derivada de ambos lados y tomar el límite de cuando x se aproxima a $- 2$

$\lim_\límites{x\a -2}\frac {d}{dx}\frac{1}{(x+1)(x+3)^3} = B\\ \lim_\límites{x\a -2}\frac{- 3(x+1) - (x+3)^3}{(x+1)^2(x+3)^4} = B\\ 2 = B$

$\lim_\limits{x\to -3}\frac {d}{dx}\frac{1}{(x+1)(x+2)^2} = E$

Y nos tomamos una segunda derivada para encontrar $D$

$\lim_\limits{x\to -3}\frac {d^2}{dx^2}\frac{1}{(x+1)(x+2)^2} = 2D$

Answer 2

Siguiendo la sugerencia de @paulinho, queremos escribir $\frac{1}{u^2(u-1)(u+1)^3}$ como una suma de fracciones parciales. El resto lo podemos construir utilizando repetidamente cómo escribir el recíproco de una cuadrática con fracciones parciales. Tenga en cuenta que $$\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac12\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)\\\implies\frac{1}{(u-1)(u+1)^2}=\frac14\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}-\frac{2}{(u+1)^2}\right)\\\implies\frac{1}{(u-1)(u+1)^3}=\frac18\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}-\frac{2}{(u+1)^2}-\frac{4}{(u+1)^3}\right)\\\implies\frac{1}{u^2(u-1)(u+1)^3}=\frac18\left(\frac{1}{u^2(u-1)}-\frac{1}{u^2(u+1)}-\frac{2}{u^2(u+1)^2}-\frac{4}{u^2(u+1)^3}\right).$$You can do the rest yourself with such observations as$$\frac{1}{u^2(u\pm 1)}=\pm\frac{1}{u}\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u\pm 1}\right)=\pm\frac{1}{u^2}\mp\frac{1}{u}\pm\frac{1}{u\pm 1},\\\frac{1}{u^2(u+1)^2}=\frac{1}{u^2}-\frac{2}{u}+\frac{2}{u+1}+\frac{1}{(u+1)^2}.$ $

Answer 3

La sustitución $$x=-\left( 3+\frac{2}{u} \right)$ $ reduce la integral a

$$ \begin{align} & =\frac{1}{8}\int{\frac{{{u}^{4}}}{\left( u+1 \right){{\left( u+2 \right)}^{2}}}du} \\ & =\frac{1}{8}\int{u-5+\frac{17{{u}^{2}}+36u+20}{\left( u+1 \right){{\left( u+2 \right)}^{2}}}du} \\ & =\frac{1}{8}\int{u-5+\frac{1}{u+1}+\frac{16}{u+2}-\frac{16}{{{\left( u+2 \right)}^{2}}}du} \\ \end {align} $$

y puedes ver que la descomposición parcial de la fracción se vuelve mucho más fácil.

Answer 4

Cuando parciales fracción de descomposición se convierte en un poco abrumador, puede aplicar la Horowitz-Ostrogradsky algoritmo ! [Manuel Bronstein - Integración Simbólica I]

Es muy mecánico, sólo el cálculo de $H$ es tedioso, pero el resto es bastante fácil.

Así que empezamos con $$\frac AD=\frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}$$

$A=1$

$D=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3$

$D\,'=(x+2)(x+3)^2(6x^2+22x+18)$

$D^-=\gcd(D,D\,')=(x+2)(x+3)^2$

$D^*=D/D^-=(x+1)(x+2)(x+3)$

$B=\sum_{i=0}^{\deg(D^-)-1}b_ix^i=b_0+b_1x+b_2x^2$

$C=\sum_{i=0}^{\deg(D^*)-1}c_ix^i=c_0+c_1x+c_2x^2$

Y vamos a identificar el polinomio nulo $$\forall x:\quad H(x)=A-B\,'D^*+BD^*{D^{-}}'/D^--CD^-=0$$

$H(x)=-c_2x^5+(b_2-c_1-8c_2)x^4+(2b_1-2b_2-c_0-8c_1-21c_2)x^3+(3b_0+4b_1-15b_2-8c_0-21c_1-18c_2)x^2+(10b_0-4b_1-12b_2-21c_0-18c_1)x+(7b_0-6b_1-18c_0+1)$

Este sistema resuelve a $\begin{cases}B=\frac 94x^2+\frac{25}{2}x+17\\C=\frac 94x+\frac 52\end{cases}$

Y la fórmula que dice :

$$\int \frac AD\mathop{dx}=\frac{B}{D^-}+\int\frac{C}{D^*}\mathop{dx}=\frac{9x^2+50x+68}{4(x+2)(x+3)^2}+\int\frac{9x+10}{4(x+1)(x+2)(x+3)}\mathop{dx}$$

La última parte está todavía resuelto por la fracción parcial de la descomposición, pero es mucho más sencillo:

$\int=-\frac{17}8\ln(x+3)+2\ln(x+2)+\frac 18\ln(x+1)$

Answer 5

Con el fin de determinar la fracción parcial de la descomposición de $$f(x) = \frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3} = \frac{A_1}{x+1} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{C_1}{x+3} + \frac{C_2}{(x+3)^2} + \frac{C_3}{(x+3)^3}$$ podemos proceder de la siguiente manera:

$$A_1 = \lim\limits_{x\to -1} (x+1)f(x) = \lim\limits_{x\to -1} \frac{1}{(x+2)^2(x+3)^3} = \frac{1}{8}$$

$$B_2 = \lim\limits_{x\to -2} (x+2)^2f(x) = \lim\limits_{x\to -2} \frac{1}{(x+1)(x+3)^3} = -1$$

$$C_3 = \lim\limits_{x\to -3} (x+3)^3f(x) = \lim\limits_{x\to -3} \frac{1}{(x+1)(x+2)^2} = -\frac{1}{2}$$

$$B_1 = \lim\limits_{x\to -2} (x+2)\left[f(x) - \frac{B_2}{(x+2)^2}\right] = \lim\limits_{x\to -2} \frac{1}{x+2}\left[(x+2)^2f(x)-B_2\right] $$ $$ = \lim\limits_{x\to -2} \frac{1}{x+2}\left[\frac{1}{(x+1)(x+3)^3}+1\right] = -\lim\limits_{x\to -2}\frac{1+(x+1)(x+3)^3}{x+2} $$ $$ = -\lim\limits_{x\to -2} \left[(x+3)^3 + 3(x+1)(x+3)^2\right] = 2 \text{ (by l'Hopital's rule)}$$

$$C_2 = \lim\limits_{x\to -3} (x+3)^2\left[f(x) - \frac{C_3}{(x+3)^3}\right] = \lim\limits_{x\to -3} \frac{1}{x+3}\left[(x+3)^3f(x) - C_3\right]$$ $$ = \lim\limits_{x\to -3}\frac{1}{x+3}\left[\frac{1}{(x+1)(x+2)^2} + \frac{1}{2}\right] = -\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to -3}\frac{\frac{1}{2}(x+1)(x+2)^2+1}{x+3}$$ $$ = -\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to -3}\left[\frac{1}{2}(x+2)^2 + (x+1)(x+2)\right] = -\frac{5}{4} \text{ (by l'Hopital's rule)}$$

$$C_1 = \lim\limits_{x\to -3} (x+3)\left[f(x) - \frac{C_2}{(x+3)^2} - \frac{C_1}{(x+3)^3}\right] = \frac{1}{(x+3)^2}\left[(x+3)^3f(x) - C_2(x+3) - C_3\right]$$ $$ = \lim\limits_{x\to -3} \frac{1}{(x+3)^2}\left[\frac{1}{(x+1)(x+2)^2}+\frac{5}{4}(x+3)+\frac{1}{2}\right] $$ $$ = -\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to -3}\frac{\frac{5}{4}(x+1)(x+2)^2(x+3)+\frac{1}{2}(x+1)(x+2)^2+1}{(x+3)^2} $$ $$ = -\frac{1}{4}\lim\limits_{x\to -3} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\left[\frac{5}{4}(x+1)(x+2)^2(x+3)+\frac{1}{2}(x+1)(x+2)^2+1\right] \text{ (by l'Hopital's rule twice)}$$ $$ = -\frac{17}{8}$$

El último es el más molesto para calcular por desgracia.