Descomposición polar de una matriz general

Question

¿Cómo puedo calcular la descomposición polar para una matriz general? Por ejemplo para esta sencilla:

$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} $$

Sé cómo calcularlo para una matriz con números, mediante valores propios, vectores propios. Llevo un tiempo buscando la respuesta en internet pero no la entiendo del todo.

Answer 1

Así que primero dejemos $A = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=QS$ .

Entonces, tenemos $A^{T}A=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2\end{pmatrix}$ .

El(los) valor(es) propio(s) de esta matriz es $a^2+b^2$ , a veces son diferentes pero no demasiado difíciles de manejar.

Los vectores propios son $\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}$ .

Entonces podemos escribir $A^TA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}$ .

El primer factor es sólo los vectores propios, el segundo es una matriz diagonal formada por cada uno de los valores propios correspondientes, y el tercero es la inversa del primero.

Ahora definimos una segunda matriz $S=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}$ .

La única diferencia es que $S$ se construye utilizando los valores singulares, que son básicamente las raíces cuadradas de los valores propios.

Tenemos que $S=\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}$ .

También tenemos que $Q=AS^{-1}= \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{pmatrix}$ .

Finalmente, tenemos la descomposición polar: $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{pmatrix}$

Answer 2

Es de suponer, $A$ es invertible (si no, sería la matriz cero). También supondré que $A$ tiene entradas reales (si no es así, cambie todas las ocurrencias de $A^T$ a $A^*$ ). No voy a discutir la prueba de la descomposición polar, pero consultando la prueba se puede comprobar que las matrices que doy son las correctas, y que tienen las propiedades deseadas (se puede comprobar sin demasiado trabajo).

Queremos encontrar la factorización $A=UP,$ donde $U$ es ortogonal (unitario) y $P$ es semidefinido positivo y simétrico (hermitiano). Calcule $(A^TA)^{1/2},$ y establecer esto para que sea $P$ . Entonces, basta con definir $U$ por $U=AP^{-1}.$ Vamos a hablar de cómo encontrar la raíz cuadrada. Como $A$ es invertible, $A^TA$ es definida positiva, por lo que podemos definir la raíz cuadrada (todos los valores propios son positivos; nótese que sólo es necesaria la semidefinición positiva). Así, podemos diagonalizar $A^TA,$ obtener la eigendecomposición $A^TA=S\Lambda S^{-1}.$ Ahora, la raíz cuadrada se define como $(A^TA)^{1/2}=S\Lambda^{1/2}S^{-1}$ , donde $\Lambda^{1/2}=\text{diag}\left(\sqrt{\lambda_j}\right).$

Así que, aquí están los pasos:

1. Obtener una eigendecomposición de $A^TA$ .
2. Encuentra la raíz cuadrada de $A^TA$ y definirlo como $P$ .
3. Set $U=AP^{-1}.$

Esto nos da nuestra descomposición $A=UP.$ Podemos hacer esto para una matriz de su forma, y le animo a seguir estos pasos y ver lo que se obtiene. No necesitamos "números", ya que es bastante simple para un $2\times 2$ .

Answer 3

Otras respuestas describen un método bastante estándar para encontrar la descomposición polar de una matriz invertible $M$ al diagonalizar $M^*M$ . En general, las dos descomposiciones polares de una matriz pueden calcularse directamente a partir de su SVD: Para una matriz cuadrada $M$ tenemos $A=U\Sigma V^*$ con $\Sigma$ diagonal y semidefinida positiva, mientras que $U$ y $V$ son unitarios (ortogonales si $M$ es real). Para obtener descomposiciones polares a partir de esto, basta con insertar otro par de $U$ 's o $V$ 's: $$M = (U\Sigma U^*)(UV^*) = (UV^*)(V\Sigma V^*).$$

Ten en cuenta que para matrices de la forma específica de tu pregunta, la descomposición polar puede determinarse fácilmente a partir de consideraciones geométricas. Suponiendo que estamos hablando de matrices reales, estas matrices son isomorfas a los números complejos: la matriz $M=\small{\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$ corresponde a $z=a+bi=re^{i\theta}$ . La descomposición polar de un $2\times2$ La matriz real la factoriza en una escala a lo largo de un par de direcciones ortogonales seguida de una rotación. La multiplicación por $z$ es una combinación de escala uniforme por $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y una rotación a través de $\theta$ , por lo que podemos factorizar inmediatamente $M$ en $$\left(\frac1{\sqrt{a^2+b^2}}M\right) \begin{bmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{bmatrix}.$$ En efecto, la descomposición polar de $M$ es un análogo directo de la descomposición de $a+bi$ en el producto del número real no negativo $r$ y el número complejo unitario $e^{i\theta}$ .