¿Qué hace una topología y qué hace que una topología particular sea la "correcta"?

Question

De La Wikipedia:

El mismo grupo puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, el real de la línea, el plano complejo, y el conjunto de Cantor puede ser pensado como el mismo juego con diferentes topologías.

[Aparte: Tomado literalmente, esta afirmación es subjetiva (girar en la interpretación de "puede ser pensado como") o falso. Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera aclarar lo que esto quería decir.]

De muchas fuentes, que es un cliché:

La topología Euclidiana es el natural de la topología de $\Bbb{R}^n$...

Naturalmente, establece como $\Bbb{N}$ e $\Bbb{Z}$ [que no son densa y de la nada densa] sugieren que la topología discreta...

---

Ambos de estos sentimientos parecen bastante común, y sugerir a mí que en particular las topologías son implícitamente descriptiva de conjuntos particulares y viceversa. Sin embargo, parece ser que no hay motivos para "$X$ topología 'naturalmente' describe a $Y$"), salvo por $X$ e $Y$ siendo nominalmente relacionadas (de la misma manera como "océano" y "gusano de tubo gigante").

De hecho, a mí me parece que la elección de la topología es fundamentalmente arbitrario. En una disciplina que se enorgullece de rigor, me parece que esto, junto con el casual aceptación de muy suelto explicaciones de por qué una determinada topología es 'natural' o 'obvio', ligeramente inquietante.

Todo esto me ha llevado a dos pregunta muy importante:

1. Lo que precisamente hace una topología de hacer - es decir, dada una topología particular, ¿qué se puede inferir acerca de la estructura (es decir, 'forma'), de un espacio con que la topología (aparte de los obvios 'esto está abierto/cerrado', 'este es continua", etc)?

2. Qué, si algo, hace una topología específica el derecho de uno para un contexto determinado, es decir, dado un conjunto arbitrario, y tal vez algo de información adicional, la cual topología describe mejor el set, y por qué?

Idealmente, cuando se presenta cualquier problema quiero ser capaz de responder a la pregunta "¿qué topología debo usar para esto"?

---

Nota: soy consciente de lo que una métrica de la topología es y cómo se usa, yo soy no pidiendo una explicación de la métrica de topologías, quiero saber por qué la selección de cualquier topología particular es razonable en el primer lugar. Viendo como cómo una métrica es sólo uno de cualquier número de caracteres que puede ser asignada a un conjunto arbitrariamente, me gustaría saber por qué cualquiera de las características deben ser seleccionados para definir la 'natural' de la topología en un conjunto.

Editar:

Aclaración

No me esperaba esta pregunta de una respuesta como lo hizo, pero después de leer los comentarios, creo que algunas aclaraciones está en orden.

"Arbitraria" significa sujeto a la elección de cada uno, nada más, nada menos. Debido a la topología asignada a un conjunto es independiente (arriba a la inclusión) de ese conjunto, la elección de la topología de hecho es "arbitraria".

Dicho esto, puedo entender por qué la Topología Euclidiana en $\Bbb{R}^n$ (particularmente considerado como espacio vectorial) parece 'natural' - se deduce de lo que debemos esperar de nuestra intuición. Es tentador decir que esta intuición es 'natural' o incluso 'universal' - un elemento de la naturaleza humana en lugar de un producto de un determinado constructo, sin embargo, si la antropología cultural, me ha enseñado una cosa, es que nada es universal (excepto para los homicidas endocannibalism tabúes). La intuición detrás de una comprensión particular de 'espacio' es algo que se aprende no se sabe desde el nacimiento, ni está presente en todas las personas.

Más en general, la topología no es un implícitamente cosa espacial. Fuera de análisis y geométricas de la topología, la topología no es sólo una especie de conjunto.

Mi Toma De Distancia

De lo que se puede reconstruir a partir de las respuestas, una topología de primero y ante todo es una forma de etiquetar determinados subconjuntos de un conjunto - es decir, aquellos subconjuntos de la posesión de una propiedad deseada.

El significado de la etiqueta depende de la información que nos interesa, no a las características del conjunto en sí. En el caso de la métrica de la topología, lo que nos interesa es 'espacio', y el abierto de los conjuntos de una métrica de la topología de la eficacia de captura de la idea de 'los conjuntos que ocupan espacio'.

En otros casos, tales como Furstenberg es la prueba de que existen infinitos números primos (que se aborda en J. G. de la respuesta) o la geometría algebraica (que se aborda en Moishe Kohan la respuesta) estamos interesados en cosas diferentes - como se establece "que son infinitos', o 'grupos que contienen los ceros de los polinomios'.

Answer 1

¿Qué hace una topología de hacer, y lo que hace que una determinada topología de la 'derecha' uno?

Una topología permite demostrar ciertas cosas; es el derecho si se le ayuda con su problema actual; es el natural, si esto le ayuda a 99 veces de cada 100.

Para ilustrar esto, me voy a dar un ejemplo de un problema que debería nunca creo que es solucionable con una topología, pero es absolutamente. Este es Furstenberg prueba existen infinitos números primos (con algunos pasos omitidos usted puede tratar de llenar tu mismo):

Podemos comprobar que existe una topología en $\Bbb Z$ cuyo abrir los conjuntos son la los sindicatos de dos caras progresiones aritméticas en $\Bbb Z$. En este topología, cada conjunto abierto también está cerrado, y es infinita o vacío. Si hay un número finito de números primos, el conjunto de números enteros no divisible por cualquier prime número de clopen, y por lo tanto infinito o vacío. Pero este conjunto es $\{-1,\,1\}$, dando una contradicción.

Este ejemplo inspiró a esta pregunta; todas sus respuestas son vale la pena leer para otros "creativo" de la topología de ejemplos. (Mi respuesta no explica otro ejemplo que demuestra que cualquier Jordania curva que pasa a través de algunos del rectángulo de vértices.) Pero que pregunta es acerca de la inesperada usos de la topología. Las pruebas a las que los autores de siempre recogido el derecho de la topología, pero normalmente no es un natural.

Topologías están íntimamente relacionados con las métricas, normas, etc., la elección de cual puede ser un indicio en lo que es natural. Por ejemplo, nuestras opciones en $\Bbb Q$ son limitados, y la norma Euclídea da a luz a $\Bbb R$ e $\Bbb C$ en una manera que no trivial alternativas nos da el $p$-adics, que siguen han limitado la intuición y de la utilidad.

Answer 2

Permítanme comenzar con la oración

El mismo grupo puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, el real de la línea, el plano complejo, y el conjunto de Cantor puede ser pensado como el mismo juego con diferentes topologías.

Esto es totalmente correcto y, al mismo tiempo, inútil. Para hacer sentido de esta afirmación, se observa que los tres conjuntos tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, uno toma, por ejemplo, un bijection $f: {\mathbb R}\to {\mathbb C}$ y la toma de la imagen en $f$ de la norma de la topología ${\mathcal T}_1$ a ${\mathbb R}$. El resultado es una topología ${\mathcal T}_2$ a ${\mathbb C}$ tal que $({\mathbb C},{\mathcal T}_2)$ es homeomórficos a $({\mathbb R},{\mathcal T}_1)$. Sin embargo, dado el hecho de que nuestro mapa de la $f$ fue arbitraria bijection, no pudimos obtener ninguna penetración en la estructura topológica de cada uno de estos espacios.

Siguiente, a la

La topología Euclidiana es el natural de la topología de ${\mathbb R}^n$.

la respuesta es "depende". En primer lugar, usted tiene que decidir lo ${\mathbb R}^n$ es. Supongo que esto significa que el $n$-dimensiones reales de espacio vectorial (con una elección particular de la base). Si usted está haciendo, digamos, análisis o Pde o geometría diferencial o topología geométrica en este espacio, a continuación, de hecho, la topología Euclidiana es la elección natural. Por ejemplo, desde el análisis de punto de vista, esta topología es natural, ya que está de acuerdo con la noción de límites, continuidad, etc. que se utiliza en el análisis en ${\mathbb R}^n$. De hecho, (real) análisis fue una de las fuentes originales de la topología que despertar de las necesidades de varias ramas de las matemáticas y de análisis (reales y complejos) fue uno de estos.

Al mismo tiempo, si usted está haciendo (real) de la geometría algebraica, rápidamente se da cuenta de que además de la topología Euclidiana, hay otra natural de la topología en ${\mathbb R}^n$, es decir, la topología de Zariski (que no es Hausdorff mientras $n>0$). Esta topología es estrictamente más débil que la topología Euclidiana pero capta soluciones de ecuaciones algebraicas mejor que la topología Euclidiana. De la misma (incluso más) se aplica a ${\mathbb C}^n$. Por otra parte, en la geometría algebraica uno utiliza con frecuencia ambas topologías y compara las respuestas. Además, la topología de Zariski en ${\mathbb C}^n$ tiene un leve generalización, llamado el etale topología (que es, estrictamente hablando, no de una topología en ${\mathbb C}^n$) que también es muy útil. Así, desde el punto de vista algebraico, digamos, de la topología de Zariski es más natural que la topología Euclidiana.

Una manera de pensar en esto es que Zariski conjuntos cerrados son cero conjuntos de polinomio (vector), mientras que las funciones de los subconjuntos de ${\mathbb C}^n$ cerrado en el clásico de la topología son cero conjuntos de nivel de las funciones lisas.

Tratar con topología tales como la topología de Zariski (en general algebraicas variedades/esquemas) obliga a reconsiderar el estándar de nociones topológicas se utiliza en el análisis, tales como la compacidad y la conectividad. Uno de los reemplaza con adecuada "algebraica" homólogos (integridad y la irreductibilidad).

En tercer lugar,

Qué, si algo, hace una topología específica el derecho para un contexto determinado, es decir, dado un conjunto arbitrario, y tal vez algo de información adicional, la cual topología describe mejor el set, y por qué?

no tiene una respuesta universal. Como usted aprender más matemáticas, usted descubrirá este de la lectura y tratando de resolver problemas. Si sus matemáticas de la especialidad es, digamos, el Seep, a continuación, utilizar la topología Euclidiana sobre ${\mathbb R}^n$ y "whatever works" en diferentes espacios funcionales. Por ejemplo, se intenta obtener alguna forma de compacidad (si es posible), que exige "menos" abierto conjuntos y la continuidad de algunos funcionales (que requiere más abierto conjuntos). Existe una clara tensión entre los dos, que hace cosas interesantes.

Edit. Un ejemplo clásico (volviendo a los orígenes de la topología) es el problema de Dirichlet. La idea (debido a Riemann) es resolver el problema por la minimización de una adecuada (no lineal!) funcional (la energía) en un determinado espacio de funciones. Por lo tanto, la topología que uno busca es el uno para el cual la energía funcional es continua y su subnivel conjuntos son compactos. Riemann original de la expectativa era que incluso en este infinito-dimensional, un continuo funcional en una cerrada delimitada subconjunto alcanzará su mínimo (el "principio de Dirichlet"). Hilbert se observó que ésta es absolutamente equivocado en todos los casos, pero puede ser el trabajo hecho en la configuración especial del problema de Dirichlet eligiendo cuidadosamente el espacio funcional y su topología.

Un ejemplo más, esta vez de álgebra: la Topología en grupos. En general, en el álgebra es una buena idea utilizar la topología "de conformidad con la estructura algebraica tanto como sea posible". Por ejemplo, para el grupo $G=SL(n, {\mathbb C})$ la distancia Euclídea (también llamada "clásica") topología de equipar $G$ con la estructura de un grupo topológico (multiplicación $G\times G\to G$ y la inversión de $G\to G$ son continuas) e incluso de una Mentira grupo (el grupo de operaciones son diferenciables con respecto a la natural suave colector de estructura). Sin embargo, en muchos casos, es útil también para equipar el mismo grupo de $G$ con la topología de Zariski. Y con esta topología, $G$ es sólo un paratopological grupo: La multiplicación $G\times G\to G$ es continua con respecto a cada "variable", pero no es conjuntamente continua. Pero mirando un poco la situación más de cerca, el origen del problema es que estamos usando el "mal de la topología" en el grupo de producto $G\times G$: en Lugar de la topología producto se debe utilizar la topología de Zariski en este producto.

En este ejemplo puede ver cómo el álgebra (tanto en teoría de grupos y la geometría algebraica), se regula la elección de la topología (en $G$ e $G\times G$).

El grupo $G$ con topología de Zariski tiene mucho menos cerrado subgrupos que hace posible el análisis de ellos. Además, suelen ser "mejor" que cerrado subgrupos en el clásico de la topología. El ejemplo que más me gusta es tomar el Zariski cierre de un infinito subgrupo $\Gamma$ que es discreto (y, por lo tanto, cerrado) en el clásico de la topología. El resultado subgrupo de $G$ es de nuevo una Mentira grupo, pero ahora tiene sólo un número finito de componentes conectados (en la clásica topología!). Por lo tanto, esta Zariski cierre puede ser analizado por medio de la Mentira de la teoría (es decir, mirando a su Mentira álgebra). Así, en este ejemplo, vamos a partir de la topología Euclidiana a la topología de Zariski y, a continuación, volver a la topología Euclidiana.

Answer 3

Esta respuesta no se mucho acerca de la topología de como va a ser acerca de la noción de "natural" de los objetos existentes en las matemáticas en general. Para empezar, tienes toda la razón. La noción de un natural de la topología es totalmente subjetivo y no hay ningún rigor matemático detrás de él. Pero eso no significa que no sea útil.

Para explorar más a fondo, tiene sentido hablar de definiciones, como un todo. Mientras que usted parece entender esto, no han sido un par de definiciones de este sitio preguntando por qué las cosas se definen de cierta manera, y si una definición es "correcto" o "equivocado". Mientras que las respuestas pueden variar, el hilo subyacente es consistente: las Definiciones son enteramente una conveniencia, y no puede ser correcta o incorrecta. Volviendo a tu ejemplo, esto deja claro que los naturales de las topologías son naturales simplemente porque la mayoría de matemáticas de acuerdo con esta definición; la mayoría de matemáticas tienden a estudio de ciertos tipos de problemas, y en estos problemas algunas topologías tienden a producirse de forma natural, muy a menudo, y por lo que se conoce como natural. Si usted no hace el trabajo que es similar o relacionado a lo que muchos otros hacen, entonces usted puede también encontrar este conveniente. Por otro lado, si usted inventar toda una nueva rama de las matemáticas en la que otras topologías (o cualquier objeto) son naturales, usted puede elegir para redefinir natural para decir algo más.

Answer 4

"real de la línea, el plano complejo, y el conjunto de Cantor puede ser pensado como el mismo conjunto". Sí, y no. Sí, gracias a Cantor, apoyándose en la existencia de un bijection que 1. generalmente es difícil de describir con precisión, y 2. no respetar la estructura de estos conjuntos que más nos interese (por ejemplo, el de las operaciones algebraicas de reales y complejos, número total de la orden de los reales, etc). Así que, no, porque para decir que estos son los mismos conjuntos, usted necesita para olvidar sus pertinentes de la estructura, por ejemplo, la topología de la recta real podría ser definida exclusivamente en términos de su orden, pero ahora quiere hacer caso omiso de la orden lineal de la línea.

Si una definición es simple (aunque de alguna utilidad), entonces es natural. La topología discreta tiene una simple definición, por lo que es natural. A veces la topología discreta parece inútil, pero, por ejemplo, el conjunto de Cantor podría ser considerado el producto de countably muchas copias de la discreta doubleton $\{0,1\}$, así que de repente la topología discreta se convierte relacionados con el estándar de la topología en el conjunto de Cantor inducida a partir de la línea real. Interrelaciones como este entre dos topologías de mejorar nuestra comprensión de los objetos de nuestro estudio, y que ambas topologías de ganancia a partir de dicha interacción, y el más ejemplos que vemos a lo largo de estas líneas, la más estas topologías parece natural.

Cierto, para la línea real (y $\Bbb R^n$) el término natural de la topología significa que la Euclidiana, o la métrica de la topología. La definición de la topología a través de open pelotas (o abrir intervalos) es 1. fácil (lo suficiente), y 2. útil (en la formalización de la noción de continuidad, que fue concebido primero de, yo creo que, antes de la invención y la formalización de la noción de la topología). El hecho de que el orden de la topología y de la métrica de la topología de la recta real son el mismo dice que no debería ser algo natural acerca de esta topología. Del mismo modo, la métrica de la topología en $\Bbb R^n$ y el producto de la topología de coincidir, y debe ser de alguna importancia que llegamos a la misma topología a través de diferentes medios. Tomando distancia de la estructura que está presente en los objetos que se estudian, y extirpación de estos objetos (línea real, plano complejo, etc) de la mayoría de las características que la hacen interesante para nosotros, para estudiar, solo para decir oh, ellos son el mismo conjunto ... esto es demasiado simplista y realmente no dice nada. La teoría de conjuntos es un interesante objeto de estudio en sí, pero diciendo que todos los espacios son "el mismo", sólo porque son el mismo conjunto, bien, por un lado es el abuso de conjunto de la teoría de nociones tomadas fuera de contexto, y por otro lado no decir mucho, dado que la bijections involucrados rara vez preservar las estructuras que hacen de estos espacios interesantes para el estudio. (Por ejemplo, de nuevo, se podría utilizar la orden total de la línea real y un bijection para el plano complejo, para definir un orden total en el avión, pero entonces no tendríamos mucho uso de ella, desde el 1 de. no tendríamos bastante simple descripción de la bijection, y 2. un orden total en el plano complejo no iba a jugar muy bien junto con la habitual estructura de los números complejos.)

No está claro si estoy respondiendo a tu pregunta (pero la pregunta en sí es amplio y puede estar sujeto a interpretación), no estoy diciendo que no hay una buena interacción entre la teoría y la topología. Acabo de leer una respuesta de mostrar que no hay ningún valor real de la función de $f$ sobre los reales de tener límite de $\infty$ en cada punto. De hecho, si $A_n = \{x \in [0,1]: |f(x)| \leq n\}$ e si $A_n$ es infinita para algunos $n$ (que implica la teoría de aquí), a continuación, $A_n$ debe contener una síntesis de la secuencia de $x_k$, y no podemos tener a $\lim_{x_k\rightarrow x}f(x_k)=\infty$. Pero, no podemos tener todos los $A_n$ ser finito (para cada una de las $n$), desde entonces el intervalo de $[0,1]$ sería contables, una contradicción (y de nuevo, el uso de la teoría de conjuntos). Pero el uso de la teoría de conjuntos nos da algo, mientras que si se define una topología en el plano complejo por una simple transferencia de la topología de la recta real a través de la utilización de un bijection, en el plano complejo, no veo mucho uso de este "transferidos" topología, no va a jugar bien con la estructura del plano complejo, y si no, entonces no va a ser natural.

Así que, supongo que, de partida la definición de un natular topología sería una topología que juega bien con la parte de la estructura de la que ya se encuentre útil e interesante en el que usted considere (y tal vez te ayude a resolver algún problema, como en el Furstenberg prueba de la infinitud de los números primos, discutido en otra respuesta, y muchos otros ejemplos, algunos también se da en otra respuesta).

Así que, de nuevo, cuando digo "el mismo juego con diferente topología", a continuación, ignorar totalmente cualquier otra estructura que podría estar interesado en (orden, operaciones algebraicas, etc). Si ignoramos la otra estructura, entonces, se hace casi imposible definir la topología de ser natural. Tal vez se podría decir que la topología discreta en un conjunto arbitrario es más natural que la topología indiscreta (ya que si usted toma un producto de espacios discretos de que usted obtenga una topología de interés), pero no veo cómo uno podría ir muy lejos, en un intento de definir un natural de la topología en un conjunto, sin tomar en cuenta algunos otros interesantes o estructura existente en el conjunto en cuestión.