¿Pueden considerarse todos los grupos como las simetrías de un objeto geométrico?

Question

A menudo se dice que podemos pensar en los grupos como las simetrías de algún objeto matemático. Los ejemplos habituales se refieren a objetos geométricos, por ejemplo, podemos pensar en $\mathbb{S}_3$ como la colección de todas las reflexiones y simetrías de rotación de un triángulo equilátero, de forma similar podemos pensar en $D_8$ como el grupo de simetría de un cuadrado.

El Teorema de Cayley junto con el hecho de que el grupo de simetría de un regular $n$ -es isomorfo a $\mathbb{S}_{n+1}$ nos permite pensar en cualquier grupo finito como un subconjunto del grupo de simetría de algún objeto geométrico. Lo que me lleva a las siguientes preguntas:

1. ¿Puede representarse todo grupo finito como el conjunto de todas las simetrías de un objeto geométrico? Es decir, ¿son todos los grupos finitos isomorfos a algún grupo de simetría?

2. ¿Puede extenderse este resultado (la representación de grupos como transformaciones que preservan la distancia de algún objeto geométrico) a grupos infinitos? Si es así, ¿cómo?

Gracias de antemano (:

Answer 1

Sí. Para cualquier grupo de $G$ (y la opción de generar el sistema $S$) puede asociar su grafo de Cayley, que tiene un vértice para cada elemento del grupo de $g$, y una arista entre los vértices correspondientes a $g$ e $gs$ por cada $s$ en $S$. La izquierda de la acción de $G$ sobre sí mismo corresponde a la rigidez en los movimientos de la gráfica. Este gráfico es finito si y sólo si $G$ es un grupo finito.

Si usted conoce un poco más de la topología, un corolario del teorema de Van Kampen es que cada grupo de $G$ es el grupo fundamental de un 2-dimensional CW complejo de $X$, por lo que, en particular, el grupo de $G$ actos de la cubierta de las transformaciones en la universalización de la cobertura $\tilde X$. Incluso resulta que cada grupo $G$ es el grupo fundamental de un 4 dimensiones topológicas colector. En la misma vena, Eilenberg y Mac Lane dio un "functorial" la construcción de un (típicamente enorme) objeto geométrico $BG$, un ejemplo de lo que ellos llaman un $K(G,1)$- , un espacio cuya topología es en cierto sentido completamente determinado por $G$, su grupo fundamental. Esto permite utilizar los métodos de topología algebraica incluso en grupos finitos.

ETA: La representación del infinito, los grupos discretos como la distancia-la preservación de las transformaciones de los objetos geométricos es una preocupación central de la Geométrica Teoría de Grupo! Meier Grupos, los Gráficos y los Árboles o Arcilla y Margalit del Horario de Oficina Con un Geométricas Grupo Teórico de hacer una excelente introducción a este campo.

Answer 2

Dejemos que $G$ sea un grupo finito de orden $n>1$ .

En $\Bbb R^n$ con base estándar $e_1,\ldots, e_n$ construimos un objeto geométrico con grupo de simetría trivial: Sea $X=\{\frac 1ke_k|1\le k\le n\}\cup \{0\}$ . Entonces $0\in X$ es el único punto con distancia $\le 1$ a todos los demás puntos, por lo que deben permanecer fijos por cualquier movimiento de simetría. Después de eso, $\frac 1ke_k$ es el único punto en $X$ a distancia $\frac 1k$ a $0$ Por lo tanto, también debe permanecer fijo.

Considerando la acción sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda, un grupo finito $G$ de orden $n$ puede verse como un subgrupo de $\Bbb S_n$ y esto actúa sobre $\Bbb R^n$ por permutación de coordenadas, que es una transformación lineal ortogonal, de ahí lo de "geométrica".

El punto $p=(1,2,3,\ldots, n)$ se queda fija sólo por la identidad, por lo que su órbita $Gp$ es un objeto geométrico en el que $G$ actúa libremente. Sin embargo, consideramos más bien la órbita $Y:=G(3p+X)$ .

Dejemos que $\alpha$ sea un movimiento de simetría de $Y$ . Los puntos $G\cdot 3p$ se distinguen por el hecho de que tienen $n$ puntos (es decir, "su" copia de $X$ ) en la distancia $\le 1$ Esto se debe a que cualquier otro punto de $G\cdot 3p$ difiere en al menos dos coordenadas en al menos $3$ Por lo tanto, está a la distancia $\ge 3\sqrt 2$ y, por tanto, las distintas copias de $X$ están lo suficientemente bien separados. Por lo tanto, encontramos $g\in G$ con $\alpha(3p)=g(3p)$ . Entonces $g^{-1}\circ \alpha$ deja $3p$ fija y también debe respetar la copia de $X$ perteneciente a $3p$ por lo que debe ser la identidad. Concluimos que el grupo de simetría de $Y$ es isomorfo a $G$ .

Answer 3

A menudo, la motivación para el estudio de los grupos está dada por las simetrías de polytopes, por ejemplo, polígonos regulares, poliedros regulares y de mayores dimensiones anlagogues. Y de hecho, cada grupo finito es el grupo de simetría de un polytope, que yo diría que es como el geométrico como usted puede conseguir.

• Cada grupo es el grupo de simetría de un polytope (como se ha construido en esta respuesta).

• Casi cada grupo es el grupo de simetría de un vértice-transitiva polytope (órbita polytope).

  • Babai, László. "La simetría de los grupos de vértices-transitiva polytopes." Geometriae Dedicata 6.3 (1977): 331-337.
  • Friese, Erik, y Frieder Ladisch. "Afín a las simetrías de la órbita polytopes." Los avances en las Matemáticas 288 (2016): 386-425.9

• También recuerdo haber leído que cada grupo es el grupo de simetría de un entramado polytope, pero no puedo encontrar la fuente ahora mismo.

Para mí, una idea general aquí es mirar Frucht del teorema de la teoría de grafos: cada grupo es el grupo de simetría de una gráfica. Los gráficos no son realmente los objetos geométricos $-$ son objetos combinatorios. Sin embargo, hay herramientas para construir polytopes de estos gráficos que reflejan las simetrías de la gráfica (por ejemplo, eigenpolytopes).

Esto es especialmente evidente en el caso de vértice-transitiva gráficos/polytopes: los grupos que pueden ser representados como la simetría de los grupos de vértices-transitiva gráficos y como la simetría de los grupos de vértices-transitiva polytopes son exactamente los mismos.