Demuestre que$\gcd(2^{2^m}+1,2^{2^n}+1)=1$ si$m,n$ son enteros positivos.

Question

Demuestre que$\gcd(2^{2^m}+1,2^{2^n}+1)=1$ si$m,n$ son enteros positivos.

Deje$d=\gcd(2^{2^m}+1,2^{2^n}+1)$, luego$d\mid 2^{2^m}+1$ y$d\mid2^{2^n}+1$ y luego$d\mid2^{2^m}+1-2^{2^n}-1$, es decir,$d\mid2^{2^m}-2^{2^n}$ donde hemos tomado$m>n$. Por lo tanto,$d\mid2^{2^n}(2^{2^{m-n}}-1)$, pero$d \nmid 2^{2^n}$ por lo tanto,$d\mid2^{2^{m-n}}-1$.

Entonces, ¿cómo voy a proceder?

Answer 1

Dejar $a_n = 2^{2^n}+1$. Entonces:

$$ a_{n+m} = (a_n-1)^{2^m}+1, $ $ por lo tanto:$$ a_{n+m}\equiv (-1)^{2^m}+1 = 2\pmod{a_n}, $ $ de lo que sigue que:$$ \gcd(a_{n+m},a_{n}) = \gcd(2,a_n)=1 $ $, ya que$a_n$ es impar.

Answer 2

${\bf Hint}\rm\quad\ \ \gcd(a\!+\!1,\,\ a^{\large 2K}\!+1)\ =\ gcd(a\!+\!1,\,\color{#0a0}2)\,$ por el algoritmo gcd de Euclid.

${\bf Proof}\rm\ \ \ mod\ a\!+\!1\!:\,\ \color{#c00}a^{\large 2K}\!+1\: \equiv\ (\color{#c00}{-1})^{\large 2K}\!+1\:\equiv\ \color{#0a0}2,\ \ {\rm by}\ \ \color{#c00}{a\equiv -1,}\, \ {\rm by}\, \ a\!+\!1\equiv 0$

El suyo es el caso$\rm\,\ a=2^{\Large 2^{M}},\ \ 2K = 2^{\large N-M} \Rightarrow\ a^{\Large 2K}\! = 2^{\Large 2^{N}}, $ wlog$\rm\ N>M.$

Observe $\rm\ \gcd(a\!+\!1,f(a))\, =\, \gcd(a\!+\!1,f(-1))\,$ para cualquier polinomio$\rm\,f(x)\,$ con coeficientes enteros, con la prueba exactamente como se indica arriba, excepto que aquí necesitamos usar la Regla de congruencia Polinomial general frente a las Reglas de potencia o producto.