¿Qué estoy malinterpretando acerca de esta prueba constructiva de que$\mu(\mathbb{Q}) = 0$?

Question

En clase nos dieron una constructivo prueba de que $\mu(\mathbb{Q}) = 0$, con $\mu$ la medida de Lebesgue. Por supuesto, está claro que no tienen medida cero, ya que son contables, pero esta constructivo de la prueba no le sienta bien conmigo.

Deje $\{ q_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una enumeración de los racionales. A continuación, fije $\varepsilon > 0$, y para cada una de las $q_n$ tomar el intervalo de $A_n = (q_n - \frac{\varepsilon}{2^n}, q_n + \frac{\varepsilon}{2^n})$. Entonces

$$\mu^*\left(\{q_n\}_{n=1}^{\infty}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n-1}} = 2 \varepsilon$$

De manera que la medida es cero debido a que $\varepsilon$ fue arbitraria.

Sin embargo, la parte que no le sienta bien a mí es que me parece que, finalmente, debe ser que esta cobertura de los racionales por abrir establece el tiempo debe cubrir la totalidad de la línea real. De hecho, si hubo algún "hueco" en la portada, no importa cuán pequeño, ya que los racionales son densos, a continuación, debe haber algunos racional (infinitamente muchos racionales, en realidad) que no están cubiertos. Así que, a continuación, el combinado de medida de estos intervalos no podría ser cero, ya que su unión es la línea real. Lo que está mal con mi forma de pensar?

Answer 1

Lo que este ejemplo le dice es que su intuición sobre estas cosas no es realmente confiable. No te preocupes demasiado por eso; todo el mundo pasa por eso

En particular, la unión de los intervalos no cubre toda la línea real. Hay huecos, son pequeños (ninguno de ellos contiene un intervalo), pero hay muchos de ellos, y de alguna manera logran sumar algo con una medida positiva.

Answer 2

Tengo tu confusión, sino un conjunto de tener "huecos" no implica que el conjunto se echa de menos un intervalo abierto. Para obtener más ejemplos triviales, considere la posibilidad de $\mathbb R\setminus\{\sqrt{2}\}$ o $\mathbb R\setminus\mathbb Q$. El primer conjunto tiene una sola brecha, pero todavía contiene cada número racional. El segundo conjunto de lagunas que son densos en toda la recta real, pero tiene medida cero. La portada que ha sido construido en su pregunta cubre cada número racional (y por eso muchos de los números irracionales), pero echa de menos a "la mayoría" de $\mathbb R$, como se evidencia por el hecho de que haya muy poca medida.