Alguien puede ayudar a derivar o dar una referencia a las identidades en el Apéndice B, página 27 de este, http://arxiv.org/pdf/1111.6290v2.pdf
Aquí está una reproducción del Apéndice B de Klebanov, Pufu, Sachdev y Safdi s $2012$ preprint (v2) 'Renyi Entropías Gratis Campo de las Teorías" (de la fuente en arxiv.org y con la esperanza de que no hay ningún problema citando aquí...(RM)).
B Útil de fórmulas matemáticas
En esta sección presentamos algunos útiles de fórmulas matemáticas. Comenzamos con zeta función de las identidades.
Para $0 < a \leq 1$ tenemos la identidad $$\etiqueta{B. 1} \zeta(z, a) = \frac{2 \Gamma(1 - z)}{(2 \pi)^{1-z}} \left[\sin \frac{z \pi}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2 \pi a n}{n^{1-z}} + \cos \frac{z \pi}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\pecado 2 \pi a n}{n^{1-z}} \right] \,$$
Tomando derivados a $z=0, -1, -2$ da
\begin{align} \zeta'(-2, a) &= - \frac{1}{4 \pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2 \pi a n}{n^3} - \frac{1}{4 \pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 \log (2 \pi n) + 2 \gamma - 3) \sin 2 \pi a n}{n^3} \,, \\ \tag{B.2}\zeta'(-1, a) &= \frac{1}{4 \pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2 \pi q n}{n^2} - \frac{1}{2 \pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(\log (2 \pi n) + \gamma - 1) \cos 2 \pi a n}{n^2} \,, \\ \zeta'(0, a) &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2 \pi a n}{n} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(\log (2 \pi n) + \gamma) \sin 2 \pi a n}{n} \,. \end{align}
Otros dos útiles identidades son la regularización de las sumas \begin{align} \tag{B.3}\sum_{n \in \mathbb{Z}} \log \left( \frac{n^2}{q^2} + a^2 \right) &= 2 \log \left[2 \sinh (\pi q |a|) \right] \,, \\ \sum_{n \in \mathbb{Z} + \frac 12} \log \left(\frac{n^2}{q^2} + a^2 \right) &= 2 \log \left[2 \cosh (\pi q |a|) \right] \,. \end{align}
Estas sumas seguir a partir de la fórmula más general
$$\etiqueta{B. 4}\sum_{n \in \mathbb{Z}} \log \left( \frac{(n + \alpha)^2}{p^2} + a^2 \right) = \log \left[2 \cosh (2 \pi p |a|) - 2 \cos (2 \pi \alpha) \right] \,.$$
Esta relación a su vez de la siguiente manera a partir de la distribución de Poisson fórmula de sumación de $$\tag{B.5} \frac{1}{ 2 \pi q} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat f \left( \frac{n + \alpha}{q} \right) =\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-i 2 \pi k \alpha} f(2 \pi q k) \,$$ aplicado a $$\tag{B.6}\hat f(\omega) = \log \left( \omega^2 + a^2 \right) \,.$$ Para $t \neq 0$ uno simplemente puede calcular la inversa de la transformada de Fourier de $\hat f$: $$\tag{B.7}f(t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2 \pi} e^{-i \omega t} \log \left(\omega^2 +a^2 \right) = - \frac{e^{-|a|\;|t|}}{|t|} \,.$$
El caso de $t=0$ requiere de un cuidado especial debido a que la expresión de $f(0)$ es divergente y requiere de regularización: $$\etiqueta{B. 8}f(0) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2 \pi} \log \left(\omega^2 +a^2 \right) = -\frac{d}{ds} \int \frac{d\omega}{2 \pi} \frac{1}{\left(\omega^2 +a^2 \right)^s} \Biggr\rvert_{s=0} = |a| \,.$$ El uso de $(B.6)-(B.8)$ uno puede mostrar que $(B.5)$ reduce a $(B.4)$.
