Dejemos que $a_n = \frac{p_n - p_{n-1}}{p_n \log p_n}$ donde $p_n$ denota el $n$ - en el primer lugar. ¿Es esta secuencia decreciente (o decreciente después de algún $N$ )?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
OneSmartGuy
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La secuencia no es decreciente.
Tienes, por ejemplo:
$$a_4=\frac{2}{7 \cdot \log 7}=0,14 \dots$$ $$a_5=\frac{4}{11 \log 11}=0,15 \dots$$
Haciendo más ejemplos, verás que la secuencia se hace en general más pequeña, pero no es monótona..
Aquí puedes ver una parcela:
EDIT: Considera dos primos gemelos, por ejemplo estos: $3,5$ y $5,7$ .
Entonces será así: $$a_n=\frac{5-3}{5 \cdot \log{5}}=\frac{2}{5 \cdot \log{5}}$$
$$a_{n+1}=\frac{7-5}{7 \cdot \log{7}}=\frac{2}{7 \cdot \log{7}}$$
En este caso, $a_{n}>a_{n+1}$ .
Entonces, no se puede concluir que la secuencia es decreciente, porque entonces la relación $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ se mantendría $\forall n \in \mathbb{N}$ .
