En un mínimo o en un máximo, ¿por qué la primera aproximación no supone ninguna diferencia con pequeñas variaciones?

Question

En una función ordinaria como la temperatura, una de las propiedades del mínimo es que si nos alejamos del mínimo en el primer orden, la desviación de la función de su valor mínimo es sólo de segundo orden.

En cualquier otro lugar de la curva, si nos movemos una pequeña distancia el valor de la función cambia también en el primer orden. Pero en un mínimo, un pequeño movimiento de alejamiento no supone, en primera aproximación, ninguna diferencia.

¿Puede alguien explicar geométricamente, algebraicamente o de otra manera por qué esto es cierto?

En caso de confusión, la historia se puede encontrar fácilmente en el primer párrafo de la figura 19-7 en este enlace http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html#Ch19-SUM

( Todavía no estoy seguro de cómo cortar y pegar imágenes, pero la figura 19-8 está a un clic de distancia. ) La otra advertencia es que esta pregunta puede ser más apropiada para un físico.

Answer 1

Decimos que una función $f: \mathbb{R} \rightarrowtail \mathbb{R}$ es diferenciable en un punto $a \in \text{Int}(\text{dom}(f))$ si existe $A \in \mathbb{R}$ y $r: \text{dom}(f) \to \mathbb{R}$ con la función $\lim\limits_{x \to a} \frac{r(x)}{x-a}$ para que $$f(x)=f(a)+A(x-a)+r(x)$$ Y por supuesto $A=f'(a)$ .

Así que si tenemos eso $f'(a)=0$ entonces $$f(x)=f(a)+r(x)$$ Así que no hay ningún cambio de primer orden en $f$ .

Un ejemplo: $f(x):=x^2$ y $a:=0$ . Entonces tenemos que $$f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+r(x)$$ Sustituyendo todo: $$x^2=0+0*x+r(x)$$ $$r(x)=x^2$$ Así que, como puedes ver, el cambio en torno a $a=0$ es de segundo orden. Por otro lado, si elegimos un $a$ por ejemplo $a:=1$ , obtenemos que $$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+r(x)$$ $$f(x)=1+2(x-1)+r(x)$$ Así que también tenemos un término de primer orden. Y el término de orden superior será: $$r(x)=x^2-1-2(x-1)$$ $$r(x)=x^2-2x+1$$ $$r(x)=(x-1)^2$$ Utilicé aquí lo que ya sabía $f'(a)$ pero puedes calcularlo de esta manera: $$f(x)-f(a)=A(x-a)+r(x)$$ $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=A+\frac{r(x)}{x-a}$$ Y ahora puedes dejar que $x \to a$ Utiliza las propiedades de $r$ y obtendrá que $A$ es sólo $f'(a)$ .

Answer 2

Suponiendo una función suficientemente suave, el Ampliación de Taylor alrededor de un punto $\,a\,$ se puede escribir como:

$$ f(x) = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+ \mathcal{O}\big((x-a)^3\big) $$

Si $\,a\,$ es un extremo local, entonces $\,f'(a)=0\,$ por lo que el menor término no constante es de $2^{nd}$ orden o superior.

Answer 3

He aquí una razón geométrica. La primera aproximación a una función diferenciable en un punto sigue la línea tangente en lugar de la curva a medida que nos alejamos del punto. En un mínimo o un máximo la tangente es horizontal. La primera aproximación es $0$ cambio; hay que mirar la segunda aproximación para hacerse una idea de cómo se aleja la gráfica de la horizontal.