Grupo cociente abeliano

Question

Estoy atascado en el siguiente problema de práctica. Se agradecería cualquier pista.

Supongamos que $N$ es un subgrupo normal de $G$ tal que todo subgrupo de $N$ es normal en $G$ y $C_{G}(N) \subset N$ . Demostrar que $G/N$ es abeliana.

No estoy seguro de cómo utilizar el hecho de que $C_{G}(N) \subset N$ .

Gracias

Answer 1

Dejemos que $n\in N$ y considerar la acción de $G$ en $\langle n\rangle$ . Esto incorpora $G/C_G(\langle n\rangle)$ en $Aut(\langle n\rangle)$ un grupo abeliano. Haciendo esto para todos los subgrupos cíclicos de $N$ da una incrustación de $G/C_G(N)$ en un producto directo de grupos abelianos. Hemos terminado entonces, porque eso significa $G/C_G(N)$ es abeliano, y $G/N$ es un cociente de ese grupo.

Answer 2

En primer lugar, no te quedes con lo que se da. Este es el lugar equivocado en el que hay que fijarse cuando se empieza con una prueba. Más bien hay que fijarse en lo que hay que demostrar. En este caso, queremos demostrar que $G/N$ es abeliana. ¿Qué significa que un grupo sea abeliano?

Bien, la definición establece que un grupo $G$ es abeliano si para todo $g, h \in G$ tenemos $gh = hg$ . Esto significa que tenemos que elegir dos elementos cualesquiera de $G/N$ y mostrar que se conmutan bajo la operación del grupo.

Dejaré que lo pienses a partir de ahí. Permítanme subrayar que siempre que se escribe una prueba, hay que empezar con la definición de lo que se intenta demostrar. Esto casi siempre te da una guía de cómo empezar tu prueba.