¿Es posible construir un campo ordenado que también esté cerrado algebraicamente?

Question

Es bien sabido que mientras los números reales están totalmente ordenados, no están algebraicamente cerrados, y mientras los números complejos están algebraicamente cerrados, no están totalmente ordenados. ¿Es posible construir un campo algebraicamente cerrado totalmente ordenado? Si es así, se apreciaría un ejemplo.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

No, no podemos hacerlo.

Ningún campo de características positivas puede ser totalmente ordenado: ya que $1$ es un cuadrado, debe ser mayor que $0$ y también lo son $1$ , $1+1$ , $1+1+1$ etc.; pero si la característica es $p \gt 0$ Entonces $1+1+ \cdots +1$ con $p$ es a la vez positivo e igual a $0$ lo cual es imposible.

Así que un campo totalmente ordenado debe ser de la característica cero. En particular, $-1 \neq 1$ .

Desde $1 \gt 0$ Entonces $-1 \lt 0$ . Si su campo contiene una raíz de $x^2+1$ llámalo (a falta de un nombre mejor) $i$ Entonces $i^2=-1$ pero esto significa que $-1$ es positivo, porque es un cuadrado. Esto contradice el hecho de que $-1$ es negativo. Así que ningún campo totalmente ordenado puede contener una raíz de $x^2+1$ y mucho menos estar cerrado algebraicamente.

Answer 2

Suponga por contradicción que tiene tal orden.

Elija un elemento $a<0$ . La ecuación $x^2=a$ tiene una raíz. Pero entonces $x<0$ , $x=0$ o $x>0$ todo lo cual implica que $x^2 \geq 0$ .