Algunos antecedentes: cuando escuché por primera vez acerca de ray campos de clase de hace un año, me dijeron que la de Hilbert clase de campo de un campo global $K$ es la máxima abelian extensión de $K$ que es unramified a todos (finito e infinito) de los números primos de $K$, y en la que ray campos de la clase son similares, con la excepción que permite a algunas ramificación en un número finito de números primos. Esto finalmente se cristalizó en mi cabeza como un cuasi-definición de ray campos de la clase: "el rayo de campo de clase de $K$ con el módulo de $\mathfrak m$ es la máxima abelian extensión de $K$ que es unramified lejos de $\mathfrak m$, y está permitido tener algunos restringido ramificación en los números primos dividiendo $\mathfrak m$." Ahora que estoy aprendiendo acerca de ray campos de la clase correctamente, yo estoy luchando para formular precisamente lo que esta "restricción de ramificación" es, y no he encontrado una referencia que lo hace de forma explícita.
La definición de ray campos de la clase en la que estoy trabajando con se resumen en la sección 2.9 de estas maravillosas concisas notas por Bjorn Poonen: dado un campo global $K$ y un módulo de $\mathfrak m$, construimos un determinado subgrupo abierto $U_{\mathfrak m}$ en el idele grupo $\mathbb A_K^{\times}$, y deje $U_{\mathfrak m}'$ ser su imagen en el cociente $\mathbb A_K^{\times}/K^{\times} = C_K$. Entonces este es un finito-índice de abrir subgrupo, por lo que corresponde a un número finito-índice de abrir subgrupo de $\widehat{C_K}$, isomorfo a $\mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$ a través de la global Artin homomorphism, que corrige una extensión finita $K_{\mathfrak m}/K$ a que llamamos el rayo de campo de clase.
Me gustaría que el siguiente es verdadero: si $\mathfrak{m} = \prod_{\mathfrak p} \mathfrak p^{a_p}$, el rayo de campo de clase de $K_\mathfrak{m}$ es la máxima abelian extensión de $K$ que es unramified lejos de $\mathfrak m$, y que ha trivial mayor ramificación grupo $G^{a_{\mathfrak p}}$ a finito de números primos $\mathfrak p$ dividiendo $\mathfrak m$. (Nota de la parte superior de la numeración en la ramificación de los grupos; yo antes pensaba que tenía un contraejemplo a esta, pero yo era el uso de menor numeración.) Un amigo y yo tenemos más o menos trabajado por qué esto debe ser así: de la sección 1.3 en Poonen notas, el local Artin mapa para $K_{\mathfrak p}$ mapas de la filtración $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}^{\times} \supset 1 + \mathfrak p \supset 1 + \mathfrak p^2 \supset \cdots$ isomorphically en la mayor ramificación de los grupos de $G^0 \supset G^1 \supset G^2 \supset \cdots$ en $\mathrm{Gal}(K_{\mathfrak p}^{ab}/K_{\mathfrak p})$, por lo que (después de usar el local-global de compatibilidad) el hecho de que $U_{\mathfrak m}$ contiene $1 + \mathfrak p^{a_{\mathfrak p}}$ debe ser exactamente lo que necesitamos de la fuerza de la trivialidad de la $G^{a_{\mathfrak p}}$ en $\mathrm{Gal}(K_{\mathfrak m}/K)$.
Alguien puede confirmar que esta afirmación es correcta, o arreglarlo si no?
