Acerca de $\tan(A +B)$

Question

¿Cómo es que $$\tan(A +B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B}$$ para cualquier valor de $A$ , $B$ ?

Tengo dudas al respecto ya que se llega a esto dividiendo el numerador y el denominador de $$\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}$$ por $\cos A \cdot \cos B$ que sólo se puede hacer cuando $\cos A\cdot\cos B$ no es igual a cero.

Answer 1

Se puede pensar de esta manera: Si cualquiera de los dos cos(A) o cos(B) es cero, entonces podemos tomar su límite de RHS y la igualdad tiene sentido.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\tan(A +B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B}$$ sólo es válida si ambos $(i)\space A\ne \frac{\pi}{2}+k\pi$ y $(ii)\space B\ne \frac{\pi}{2}+l\pi$ para todos $k,l\in\mathbb{Z}$ se cumplen. En caso contrario, al menos uno de los valores $\tan A$ o $\tan B$ no existe ya que $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ mientras que los ceros del coseno son de la forma mencionada.

El caso inconveniente, sin embargo, se podría simplificar directamente. Supongamos que $(i)$ se mantiene, entonces $$ \tan(A+B)= \tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi+B\right)\stackrel{\text{periodicity}}{=}\tan\left(\frac{\pi}{2}+B \right) \stackrel{\text{trig. identity}}{=}-\cot(B).$$

Se asegura la capacidad de manejar la tangente de la suma cuando $(i)$ o $(ii)$ es cierto, se puede suponer que tanto $\cos A$ y $\cos B$ no son $0$ y dividir por ella para obtener la expresión discutida.