Supongamos $f$ es Lebesgue integrable en $[a,b]$ y $F(x) = \int^x_a f(t) dt$, $x \in [a,b]$. Mostrar que $F$ se ha acotado la variación y la variación total $T^b_a(F)$ satisface $$ T^b_a(F) = \int^b_a |f(t)|dt. $$
Ahora, aquí está lo que tengo hasta ahora. Espectáculo $F$ es de BV es simple: deje $a=x_0 < x_1 < \dots < x_k=b$ ser cualquier partición/subdivisión de $[a,b]$. Entonces $$ \sum^k_{i=1} |F(x_i)-F(x_{i-1})| = \sum^k_{i=1} \left|\int^{x_i}_{x_{i-1}} f(t) dt\right| \leq \sum^k_{i=1} \int^{x_i}_{x_{i-1}} |f(t)| dt = \int^b_a |f(t)| dt. $$ Por lo tanto $T^b_a(F) \leq \int^b_a|f(t)| dt < \infty$. Por lo tanto, $F$ es de variación acotada.
Por otro lado, también sé que $F$ es una integral indefinida iff $F$ es absolutamente continua. Esto tendría también implícita $F$ es BV desde CA $\Rightarrow$ BV. También sé que si $F$ es BV, a continuación, $F'$ existe una.e.(en casi todas partes). También tengo una vieja tarea pregunta que me hizo que mostraron $F'=f$ a.e. con los supuestos desde el principio. Por lo tanto todo lo que necesito es que $\int|F'| \leq T^b_a(F)$.
Creo que esto funciona: para cada $x \in [a,b]$, sabemos que $F(x) = P^x_a(F) - N^x_a(F) + F(a)$; P y N son el positivo y negativo de las variaciones respectivamente. A continuación, $\dfrac{d}{dx} [F(x)] = \dfrac{d}{dx}[P^x_a(F)] - \dfrac{d}{dx}[N^x_a(F)]$ a.e. Por lo tanto $|F'| \leq \dfrac{d}{dx}[P^x_a(F)] + \dfrac{d}{dx}[N^x_a(F)] = \dfrac{d}{dx}[T^x_a(F)]$ a.e. Finalmente $$ \int^b_a |F'| \leq \int^b_a \dfrac{d}{dx} T^x_a(F) \leq T^b_a(F). $$ Suponiendo que puedo mostrar nada de lo que me has dicho y no mostrar una prueba de que, esto parece que funciona para mí. Cualquier comentario se agradece enormemente.
