Para una placa cuadrada calentada a$T$ en un solo borde, ¿cómo puedo mostrar que la temperatura en el centro es$T/4$?

Question

Estoy luchando con el siguiente problema:

Uno de los bordes de la placa cuadrada con aislamiento caras se mantiene a temperatura uniforme $u_{0}$ y los otros tres bordes se mantienen a temperatura cero. Sin la solución de un problema de valor de frontera, pero por superposición de soluciones de como los problemas para obtener el caso trivial en el que todos los cuatro bordes están a la temperatura de $U_{0}$, mostrar por qué la constante de la temperatura en el centro de la placa debe ser $U_{0}/4$.

Lo que he intentado:

La ecuación de Laplace de una PDE con cuatro bordes tienen las condiciones de contorno de la forma

$$u(0,y)=g_{1}(y)$$ $$u(L,y)=g_{2}(y)$$ $$u(x,0)=f_{1}(x)$$ $$u(x,H)=f_{2}(x)$$

Pero todas las condiciones de contorno de aquí no son homogéneos, para obtener un conjunto homogéneo de las condiciones de contorno para resolver el PDE, debemos dividir la solución en cuatro partes y el complemento de seguridad de las soluciones de las cuatro partes, después de resolver cada uno de forma individual con las condiciones de contorno de cada parte de ser homogénea (Esto se puede hacer debido a la linealidad de la propiedad). Un ejemplo de las condiciones de frontera que por una parte se da a continuación.

$$u(0,y)=0$$ $$u(L,y)=g_{2}(y)$$ $$u(x,0)=f_{1}(x)$$ $$u(x,H)=f_{2}(x)$$

Es mi explicación correcta y podría ser mejorado?

Answer 1

Sólo mirando a la física, si el problema tiene una solución y girar la placa de $\pi/2$ usted obtener otra solución con condiciones de frontera girado de $\pi/2$. Realizar el mismo procedimiento otras dos veces, y usted termina con cuatro soluciones con cuatro diferentes condiciones de contorno girado de $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3/2 \:\pi$ respectivamente.

Cada una de estas soluciones, en vista de la simetría axial, alcanza el mismo valor, decir $u$, en el centro de la placa. Esta $u$ es la incógnita del problema.

Como el sistema es lineal, si usted suma todas estas soluciones de obtener una solución con condiciones de frontera dadas por la suma de las cuatro condiciones de contorno.

Es fácil ver que el total de las condiciones de contorno no es sino $U_0$ en cada borde de la placa. Una solución de este problema es trivialmente el constante $u(x,y)=U_0$ y esta es la única solución debido a la unicidad teorema. En particular, en el centro el valor es de nuevo $U_0$. Debe coincidir con $4u$.

Por lo tanto $u = U_0/4$.

Answer 2

Tanto como me gusta Valter del enfoque, soy un poco incrédulo con respecto a la $u_0/4$ del valor. Así que me decidí a probar y determinar el valor 'de la manera difícil'.

$$u_{xx}+u_{yy}=0$$ $$u(0,y)=0,u(L,y)=0$$ $$u(x,0)=0,u(x,L)=u_0$$ Esto produce: $$u(x,y)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ Y con el cuarto de la condición de límite: $$u(x,L)=u_0=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\sinh(n\pi)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ $$A_n\sinh(n\pi)=\frac{2}{L}\int_0^Lu_0\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)dx$$ $$A_n=\frac{2u_0}{L\sinh(n\pi)}\int_0^L\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)dx$$ $$A_n=\frac{2u_0}{n\pi\sinh(n\pi)}\big(1-(-1)^n\big)$$ Así que: $$u(x,y)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2u_0}{n\pi\sinh(n\pi)}\big(1-(-1)^n\big)\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ $$u(x,y)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\big(1-(-1)^n\big)}{n\sinh(n\pi)}\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ En el centro de la placa de $(L/2,L/2)$: $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\big(1-(-1)^n\big)}{n\sinh(n\pi)}\sinh\Big(\frac{n\pi }{2}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi }{2}\Big)$$ $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cosh ((k+1/2)\pi)}$$ donde hemos utilizado $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$, hemos restringido la suma de los enteros impares $n= 2k+1$ ya que los términos correspondientes a incluso $n$ se desvanecen. Finalmente,$\sin(\pi(k+1/2))= (-1)^k$.

Desde este sitio donde $$1/\cosh x$$ is denoted by $$\mbox{Sech}[x]\:,$$ tenemos

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cosh ((k+1/2)\pi)}= \frac{\pi}{8}$$ así que $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi} \frac{\pi}{8} = \frac{u_0}{4}\:.$$

(Esta respuesta es una obra conjunta por Gert y V. Moretti)

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A continuación son en 3D y gráficos de contorno para $u(x,y)$ con $L=1$, $u_0=100$ y el uso de los primeros cinco $(n=1,2,3,4,5)$ términos (los términos son cero), el uso de wolfram alpha herramienta de representación:

Obviamente más términos son necesarios para representar con precisión la $u(x,1)=100$ condición.