¿Por qué dos variables aleatorias son independientes si el coeficiente de correlación de Pearson es igual a cero, pero el mismo resultado no se cumple para la covarianza?

Question

Estaba leyendo el siguiente libro

Han J, Pei J, Kamber M. de minería de Datos: conceptos y técnicas. Elsevier; 2011 Jun 9. (Tercera Edición)

En la página 96, en la primera línea del último párrafo que dice (aquí)

Si el valor resultante es igual a$0$,, a continuación, $A$ e $B$ son independientes y no hay ninguna relación entre ellos.

donde el valor resultante de arriba corresponde a la siguiente fórmula (coeficiente de correlación)

$$r_{A,B}=\frac{\sum_{i=1}^n (a_i - \overline{A}) (b_i - \overline{B})}{n\sigma_A\sigma_B}. \etiqueta{3.3}$$

Sin embargo, en la siguiente página en el último párrafo, que dice:

Si $A$ e $B$ son independientes (es decir, no tienen correlación), entonces ... $Cov(A,B) = \ldots = 0$.

Hasta aquí, todo parece estar bien, sin embargo por la siguiente relación $$r_{A,B} = \frac{Cov(a,B)}{\sigma_A\sigma_B} \etiqueta{3.5}$$ la correlación y la covarianza están relacionados y por lo que recuerdo, si la covarianza de dos variables aleatorias tienden a ser cero, no es necesario que ellos son independientes. Sin embargo, el libro dice que si $r_{A,B} = 0$ ,, a continuación, $A$ e $B$ son independientes. Estoy en lo cierto que el libro es malo? o hay algo más que está ocurriendo aquí.

Answer 1

La correlación cero no implica independencia. Ya sea:

1. Hay un error tipográfico / error y el libro está equivocado o
2. El libro hizo suposiciones adicionales anteriormente, por ejemplo, que la distribución conjunta de A y B era bivariada normal. Existen condiciones adicionales tales que la correlación cero y estas condiciones implicarían independencia.

Answer 2

Tu libro esta equivocado La correlación cero no es una condición suficiente para la independencia. Usted puede tener correlación de Pearson para las variables cero que no son independientes.

Las variables independientes tendrán tanto covarianza como correlación cero, siempre que sus varianzas no sean cero. No hay contradicción aquí.