Digamos que $A\subseteq\mathbb{C}$ está conectada y es compacta pero no es un singleton. Quiero concluir que $\partial A$ es incontable. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar una referencia para citar?
Puedo ver cómo demostrar esto de forma rutinaria, escogiendo elementos distintos $a$ y $b$ en $A$ que podemos suponer sin pérdida de generalidad que tienen partes reales distintas, y luego encontrar un elemento en $\partial A$ con cualquier parte real estrictamente entre las partes reales de $a$ y $b$ . Sin embargo, prefiero dar una referencia, ya que el argumento es poco interesante.
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@Ian que tiene un límite incontable en C.
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@Ian el límite no es una propiedad intrínseca.
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@Ian cualquier vecindad de un punto en el intervalo contiene puntos en el intervalo y no en el intervalo, por lo tanto cualquier punto en el intervalo está en el límite.
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@Ian O intenta verlo de esta manera. Recordemos que el límite de un subconjunto se puede caracterizar como el conjunto de puntos del cierre, pero no del interior. Claramente, un subconjunto de la recta real tiene el interior vacío en $\mathbb{C}$ . Eso significa que todos los puntos estarían en el límite.
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No importa, ya veo lo que pasó. Es culpa mía.