¿Es la intersección de dos submódulos proyectivos fg fg?

Question

Deje que$R$ sea un anillo unital conmutativo y$M$ un módulo proyectivo generado de forma finita$R$ -. Mi pregunta es: si$N_1$ y$N_2$ son fg submódulos proyectivos de$M$, es$N_1 \cap N_2$ fg? ¿Es proyectivo?

(Seguramente la respuesta es no, pero no he podido encontrar un contraejemplo. También, lamento la falta de motivación, pero mi razón para preguntar es tan complicada que creo que incluirla seriamente disminuiría la relación de interés / tamaño de esta pregunta .)

Answer 1

El pensamiento de una f.g. proyectiva módulo de un vector paquete, parece muy probable que la respuesta es no: considerar el trivial paquete de rango 2 y dos "torcido" subbundles de rango 1, cuya intersección es 0-dimensional en todas partes excepto en un subconjunto cerrado con los no-vacío interior – así que no es un vector paquete, en particular.

Vamos a ver, donde esta forma de pensar lleva. Deje $R$ ser el anillo de bienes con valores de funciones continuas en el real de la línea de $\mathbb{R}$. Deje $M = R \oplus R$. Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser la siguiente función continua: $$f (x) = \begin{cases} \exp (-(x+1)^{-2}) & x < 1 \\ 0 & -1 \le x \le 1 \\ \exp (-(x-1)^{-2}) & x > 1 \end{casos}$$

Considerar los submódulos siguientes: \begin{align} N_1 & = \{ (s_1, s_2) \in M : f s_1 - s_2 = 0 \} & N_2 & = \{ (s_1, s_2) \in M : f s_1 + s_2 = 0 \} \end{align} $M$, $N_1$ y $N_2$ son todos claramente f.g. libre de $R$-módulos. Sin embargo, su intersección es no f.g. proyectiva: $$N = N_1 \cap N_2 = \{ (s_1, s_2) \in M : f s_1 = 0, s_2 = 0 \}$$ Deje $\mathfrak{m}$ ser el máximo ideal de la $R$ consta de las funciones de fuga en $1$, y deje $R_\mathfrak{m}$ ser la localización de $R$ a $\mathfrak{m}$. Si $N$ fueron f.g. proyectiva, a continuación, $N_\mathfrak{m}$ sería f.g. gratis en $R_\mathfrak{m}$. Por otro lado, por construcción, $N_\mathfrak{m}$ es aniquilada por el germen de la $f$, que no es cero, y $N_\mathfrak{m}$ es en sí mismo distinto de cero (tomar, por ejemplo, cualquier golpe función de apoyo en $[-1, 1]$) – lo $N_\mathfrak{m}$ no puede ser libre. Por lo tanto, $N$ no f.g. proyectiva.

Aquí está una foto de uno de los monstruos construidos por nosotros: