¿No debería haber desgarros y pegados en la deformación en la topología?

Question

Por lo que entendí acerca de la deformación en la topología es que no debería haber rasgado y pegado.

Pero a partir de la Topología algebraica del libro de texto de Allen Hatcher, ¿por qué la suma$B_1+B'_1$ puede ser deformable a$B_2$? ¿Implica eso pegar y desatascar?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que la imagen está teniendo lugar en el espacio ambiente $X$ e $\gamma, \gamma' : [0,1] \to X$ son los lazos basados en $x_0$ etiquetados $B_1$ e $B_1'$, respectivamente, a continuación, $\gamma(0) = \gamma(1) = x_0$ e $\gamma'(0) = \gamma'(1) = x_0$. Su concatenación es $\gamma\ast\gamma' : I \to X$ dada por

$$\gamma\ast\gamma'(t) = \begin{cases} \gamma(2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \gamma'(1-2t) & \frac{1}{2} < t \leq 1. \end{casos}$$

Tenga en cuenta que $\gamma\ast\gamma'(t) = x_0$ al $t = 0, \frac{1}{2}, 1$. Homotopy de bucles es la relativa al subconjunto $\{0, 1\}$. Es decir, cuando deformar el bucle $\gamma\ast\gamma'$, sólo necesita mantener sus valores en $t = 0$ e $t = 1$ fijo, todos los demás pueden variar. En particular, ya que se deformar el bucle, su valor en $t = \frac{1}{2}$ no puede permanecer fijo en $x_0$ como se ilustra en la segunda imagen.