Encontrar la norma del operador de turno en$l^\infty$,$(x_1,x_2, \dots)\mapsto (x_2,x_3,\dots)$

Question

Deje que$T:l^\infty\rightarrow l^\infty$ esté definido por$(x_1,x_2, \dots)\mapsto (x_2,x_3,\dots)$.

He visto una reclamación sin justificación de que$\|T\|=1$, pero no estoy convencido. Yo sé eso

$\|T\| = \sup_{{\|x\|=1}}\|Tx\|$. Si$\|x\|=1$ entonces seguramente$\|Tx\|\le 1$. Asi que

PS

No veo cómo se puede afirmar que$$\|T\| = \sup\limits_{\|x\|=1}\|Tx\|\le 1.$

¿Es verdad o me falta algo?

Answer 1

Mi primera respuesta en MSE, Realmente no estoy seguro de cómo se escriben las respuestas. Notifique si se requieren modificaciones.

$||T||=\sup_{||x||=1} ||Tx||$.

Ya que $||x||=1\implies \sup \{|x_1|,|x_2|,\ldots |x_n|,\ldots\}=1$.

Tenga en cuenta que $A\subset B\implies \sup A\le \sup B$.

Asi que $||Tx||=\sup \{|x_2|,|x_3|,\ldots |x_n|,\ldots\}\le \sup \{|x_1|,|x_2|,\ldots |x_n|,\ldots\}=1\implies ||T||\le1$

Ahora, tome$x_0=(1,1,1,\ldots,1)$, luego$Tx_0=(1,1,1,\ldots,1)\implies ||T||\ge 1 $

Combinando$||T||=1$.

Answer 2

Claramente$\|Tx\| \le \|x\|$, por lo tanto,$\|T\| \le 1$. Desde que tenemos $T(0,1,0,...) = (1,0,...)$.

Answer 3

Para mostrar que$\|T\|\geq c$ es suficiente para encontrar un$x$ tal que$\|Tx\|\geq c\|x\|$, según la definición de la norma del operador.

En particular, en su ejemplo, para mostrar que$\|T\|\geq 1$ es suficiente para encontrar un$x$ tal que$\|Tx\|=1$. Es fácil encontrar tales ejemplos.