Me pregunto cuál es el sentido geométrico o de la intuición detrás de una transformación y una función(por separado)de una manera lineal.
Un ejemplo(o gráfico) que ilustra las características de una función lineal/mapa sería muy apreciada.
Gracias de antemano.
EDIT: También he leído que si nos "acercar" las gráficas de algunas funciones, vemos que "ser lineal alrededor del punto de aumento"(se puede encontrar en Callahan Cálculo Avanzado". ¿Qué significa eso?
Una transformación lineal de mapas de líneas rectas continuamente a líneas rectas, distancias iguales en una sola línea a distancias iguales, además de que el origen del origen. Sin la tercera condición, se llama una transformación afín.
La prueba de que esas condiciones son suficientes para recuperar la definición habitual:
Ser $V$ e $W$ espacios vectoriales y $f:V\to W$ una función que cumple con esas definiciones. Ser $v_1$ e $v_2$ vectores en $V$, e $w_i = f(v_i)$.
Desde el origen se conserva, $f(0_V) = 0_W$.
Ahora consideremos la recta $\{\lambda v_1: \lambda\in\mathbb R\}$. Ya que las líneas rectas se asignan a las líneas rectas, y una línea que se fija por dos puntos, sabemos que la imagen de la línea es $\{\mu w_1: \mu\in\mathbb R\}$ donde $\mu(\lambda)$ es por supuesto de una función continua. También sabemos $\mu(1)=1$ porque $w_1 = f(v_1)$.
Ahora ya en una sola línea, la igualdad de longitudes se asignan a la misma longitud, sabemos que $f(\lambda v_1+v_1)=\mu(\lambda)w_1+w_1$. A partir de ahí se puede derivar que para un entero $n$, $f(n v_1)=n w_1$, y con un análogo argumento de que para cualquier número racional $q$, $f(q v_1) = q w_1$. Continuidad, a continuación, nos da $\mu(\lambda)=\lambda$, es decir, $f(\lambda v_1) = \lambda w_1$. Por supuesto, ya que $v_1$ es arbitrario, esto es cierto para todos los vectores.
Ahora consideremos la recta que pasando por $2\alpha v_1$ e $2\beta v_2$. Esta línea está dada por $\lambda 2\alpha v_1 + (1-\lambda) 2 \beta v_2$. Esta línea se asigna a la línea recta a través de $2\alpha w_1$ e $2\beta w_2$, dado por $\mu(\lambda) 2\alpha w_1+(1-\mu(\lambda)) 2\beta w_2$. Claramente $\mu(0)=0$ e $\mu(1)=1$.
Ahora considere específicamente $\lambda=\frac12$, es decir, el punto de $\alpha v_1 + \beta v_2$. Ese punto tiene la misma distancia de $2\alpha v_1$ e $2\beta v_2$. Por lo tanto, desde distancias iguales en una línea que se asignan a la misma distancia, el punto de la imagen también tiene que tener la misma distancia de $2\alpha w_1$ e $2\alpha w_2$, es decir, debe ser el punto de $\alpha w_1 + \beta w_2$.
Por lo tanto, tenemos $$f(\alpha v_1 + \beta v_2) = \alpha w_1 + \beta w_2 = \alpha f(v_1) + \beta f(w_2)$$ Pero este es el convencional de definición de una función lineal.
En el cálculo de una función de $f:\>{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ es lineal si es dado por una expresión de la forma $f(x)=ax+b$ con constantes $a$ e $b$. La característica esencial de esta función es que cuando es evaluado en dos puntos $x_0$, $x_1$ el incremento en el $\Delta f=f(x_1)-f(x_0)$ de la producción es la constante de múltiples $a\>\Delta x$ del incremento $\Delta x=x_1-x_0$ de la entrada. En muchos casos, uno de los que en realidad ha $b=0$. En álgebra lineal, así como en el análisis funcional, esto es de hecho una condición indispensable para la linealidad.
Si una transformación $f:\>X\to Y$ entre los espacios de $X$ e $Y$ está en juego, a continuación, la linealidad de la $f$ sólo sentía al mirar arbitraria de elementos $x$, $y\in X$ y sus imágenes $f(x)$, $f(y)$. Si $f$ es lineal entonces $y=\lambda x$ debe implicar $f(y)=\lambda f(x)$, e $z=x+y$ debe implicar $f(z)=f(x)+f(y)$. En otras palabras: Lineal de las relaciones entre los puntos (vectores) debe ser preservada. Es habitual escribir las condiciones establecidas en el formulario $$f(\lambda x)=\lambda\>f(x),\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)\ ,$$ en el fin de mantener el número de la introducción de variables a un mínimo.
Si usted tiene una transformación lineal de un espacio de $X$ a continuación, la imagen es un subespacio del espacio de $X$. Geométricamente esto significa que la imagen de la transformación es un plano que contiene el origen en el espacio.
Ejemplos: El ejemplo lo más fácil es el 0-transformación.
Deje $X = \mathbb R ^n$ e $f: X \to X, v \mapsto 0$ entonces $Im(f) = \{0\}$ y por lo tanto sólo un punto.
El siguiente ejemplo lo más fácil es la identidad:
Deje $X = \mathbb R ^n$ e $f: X \to X, v \mapsto v$ entonces $Im(f) = X$ y por lo tanto todo el espacio.
Un ejemplo más complejo es:
Deje $X = \mathbb R ^n$ e $f: X \to X, v \mapsto (v_1, 0 , \dots, 0)$ entonces $Im(f) = \{(v_1, 0 , \dots, 0) \mid v_1 \in \mathbb R\}$ y por lo tanto una línea.
Espero que ayude a usted :)
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