Sea $A$ sea un anillo entonces, un homomorfismo $A\rightarrow A[x_1,\cdots,x_n]$ induce un morfismo de tipo finito entre espectros. Quiero encontrar el mapa que es localmente de tipo finito pero no de tipo finito....
¿Por qué el voto negativo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jeff
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Un morfismo se denomina de tipo finito si es cuasicompacto y localmente de tipo finito. Si $f_i : X_i \to Y$ son morfismos de tipo finito para $i \in I$ entonces claramente el morfismo inducido $f : \coprod_{i \in I} X_i \to Y$ es localmente de tipo finito, pero no suele serlo cuando $I$ es infinito. Así, por ejemplo, si $A$ es cualquier anillo conmutativo $ \neq 0$ entonces el morfismo canónico $\coprod_{n \geq 0} \mathrm{Spec}(A) \to \mathrm{Spec}(A)$ localmente de tipo finito, pero no es de tipo finito.
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Pruebe $k[x]\rightarrow k(x)$ .
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Querida Marci, $k[x]k(x)$ ¿es la inclusión? Entonces, $\operatorname{spec}k(x)=\{0\}$ ... así es $\operatorname{spec}k(x) \rightarrow \operatorname{spec}k[x]$ ¿es de tipo finito?
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El mapa $k[x]\rightarrow k(x)$ no es de tipo finito, $k(x)$ no está finitamente generada $k[x]$ -álgebra.
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Lo siento... ¿pero entonces este mapa es de tipo local finte???
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Supongamos que k es algebraicamente cerrado. Entonces todo ideal maximal viene dado por $x=a$ para algunos $a\in k$ . Entonces localmente (por ejemplo alrededor de 0) $k[x]$ se convierte en $k[x]_{(x)}$ . Además $k(x)$ está finitamente generada sobre $k[x]_{(x)}$ sólo tiene que añadir $1/x$ .
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Los comentarios de Marci son erróneos. Para morfismos de esquemas afines, localmente de tipo finito = tipo finito. Los morfismos afines son cuasicompactos.