Suma de puntos en una curva elíptica

Question

Tengo una curva elíptica $y^2 = x^3 + 2x + 2$ en $Z_{17}$ . Tiene orden $19$ .

Me han dado la ecuación $6\cdot(5, 1) + 6\cdot(0,6)$ y la respuesta como $(7, 11)$ y no estoy seguro de cómo derivar esa respuesta.

Tengo $6\cdot(5, 1) = (16,13)$ y $6\cdot(0,6)=(0, 11)$ sin embargo cuando uso la adición de puntos para sumarlos obtengo $(16,13)+(0, 11)=(14,11)$ que ni siquiera es un punto en la curva...

¿Podría alguien ayudarme a identificar dónde y por qué me he equivocado?

Para más información, aquí está cada uno de los puntos:

Y aquí está la curva trazada:

Answer 1

Pistas:

• Su cálculo de $6(5,1) = (16,13)$ es correcto.
• Su cálculo de $6(0,6) = (0,11)$ es incorrecto, debería obtener $6(0,6) = (3,1)$ .

Quizá si muestras cómo has hecho ese cálculo, pueda detectar el problema.

Una vez arreglado eso, comprobé que el resultado del autor es correcto, es decir:

$$(16,13)+(3,1) = (7,11)$$

Actualización

A continuación se ofrecen algunas pistas adicionales para ayudarle con los cálculos intermedios:

• $P = (0,6)$
• $2P = (9,1)$
• $3P = (6,3)$
• $4P = (7,6)$

Answer 2

Puedes ayudar (léase: comprobar dos veces) tus cálculos con el ordenador, por ejemplo utilizando Sage o Magma. Por ejemplo, puede utilizar gratuitamente el Calculadora en línea de Magma . El siguiente código define su curva $E$ en $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ y calcula $6\cdot (0,6)$ .

g:=GF(17).1;

E:=EllipticCurve([0,0,0,2*g,2*g]);

P:=E![0,6];

6*P;

La salida es $[3:1:1]$ que son las coordenadas proyectivas del punto $(3,1)$ como debe ser.