Si $\mathcal{M}$ es completa, localmente irreductible y no localmente simétrica, a continuación, su limitado holonomy grupo debe estar en el Berger lista. El restringido holonomy grupo es el subgrupo de la plena holonomy grupo generado por null-homotópica de bucles, y es la identidad de los componentes.
La de arriba es una "topología libre" formulación, porque tiene sentido utilizando sólo la información en cualquier vecindad de un punto (lo suficientemente bueno para el cálculo). Si quieres un global de instrucción, a continuación, el grupo fundamental del colector debe ser considerado. El pleno holonomy grupo puede tener varios componentes (el grupo fundamental de la surjects en el grupo de componentes) y la holonomy lista será diferente para cada colector, dependiendo de su grupo fundamental. Para evitar esto, una suposición común es que su espacio es simplemente conectado. Esto significa que el pleno holonomy grupo es la misma que la restringida. También significa que usted sólo tiene que exigir que su colector de ser irreductible y no simétrico, sin la palabra "local". Es una cuestión de gusto/aplicación ya sea que utilice el 'local' o 'simplemente conectado a global redacción de la Berger-Simons Teorema.
El colector no debe ser localmente simétrica porque en esa instancia, holonomy grupos puede ocurrir que no están en la lista. Hay mucho más que decir sobre este tema y que seguro que no va a caber en una sola respuesta aquí, así que os recomiendo tres bien establecido y excelentes libros: Kobayashi-Nomizu 'Fundamentos de la Geometría Diferencial Vol I', Besse 'Einstein Colectores', y Salamon 'Geometría de Riemann y Holonomy de los Grupos.
