una secuencia de polinomios converge a $0$

Question

Estoy tratando de mostrar que

hay una secuencia $(P_{n})_{n}$ de polinomios tales que el $P'_{n}(0)=1$ para todos los $n$, $P'_{n}(z)\rightarrow0$ si $z \in \mathbb{C}^{\times}$ e $P_{n}(z)\rightarrow0$ si $z \in \mathbb{C}$

pero yo no podía capaz de hacer eso. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Deje $K_n=\{0\}\cup\{z\in\Bbb C:\frac1n\le |z|\le n\}\setminus(\Bbb R^+\times(0,\frac1n))$. Este es un anillo de radio interior $\frac1n$, radio exterior $n$, con $0$ añadido y con una franja de anchura $\frac1n$ justo por encima de la real positiva del eje eliminado. Este peculiar secuencia de conjuntos fue elegido porque:

• $\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n=\Bbb C$
• $K_n$ es compacto
• $\Bbb C\setminus K_n$ está conectado
• $K_n^\times$ está conectado

Ahora defina $f_n$ a $0$ en un barrio de $K_n^\times$ e $1$ en un barrio de $0$. Este es un holomorphic función, así, por el método de Runge del teorema, existe un polinomio $g_n$ que está dentro de $\frac1{2n(n+1)}$ de % de $f_n$ a $K_n$, por lo tanto, dejar $Q_n(x)=g_n(x)-g_n(0)+1$, $Q_n$ es un polinomio que es menos de $\frac1{n(n+1)}$ a $K_n^\times$ que $Q_n(0)=1$. Por lo tanto $Q_n(x)\to0$ pointwise en $\Bbb C^\times$.

Ahora defina $P_n(z)=\int_{-1}^zQ_n(t)\,dt$. A continuación, para cualquier $z\in K_n^\times$, $$|P_n(z)|\le|z+1|\sup_{t\in K_n^\times}|Q_n(t)|\le(n+1)\cdot\frac1{n(n+1)}=\frac1n,$$ por lo $P_n(z)\to0$ pointwise en $\Bbb C^\times$, y también se $P_n'=Q_n$, por lo tanto el resto de propiedades.

Pero hay una pieza que falta, es decir,$P_n(0)\to0$. Para ello, defina $R_n(z)=\frac12(P_n(z)-P_n(-z))$. De esa manera, los límites se conservan, la derivada se conserva, y los $R_n(0)=0$ por cada $n$.