Cómo integrar un binomio de expresión, sin la expansión de antes?

Question

Deje $(3-x^2)^3$ ser un binomio de expresión. ¿Cuál es la integral de dicha expresión?

Primero traté de integración por sustitución, porque no es una composición de dos funciones. Pero$\displaystyle\frac{d}{dx}(3-x^2)=2x$ y me enteré de que este método sólo funciona si el integrando tiene la derivada del interior de la función multiplicada por una constante.

Entonces yo lo que he aprendido sobre el poder de la serie:

$$(3-x^2)^3=\binom{3}{0}3^3+\binom{3}{1}3^2(-x^2)+\binom{3}{2}3(-x^2)^2+\binom{3}{3}(-x^2)^3$$

Y así,

\begin{align} (3-x^2)^3&=27-27x^2+9x^4-x^6\\ \int(3-x^2)^3\,\mathrm dx&=\int(27-27x^2+9x^4-x^6) dx \end{align}

Finalmente:

$$\displaystyle\int(3-x^2)^3dx=27x-9x^3+\frac{9}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+C$$

Pero imaginemos que el poder es $10$, o quizás $20$? Hay alguna forma de integrar este tipo de expresión, sin ampliarlo? Gracias.

Answer 1

Permítanos generalizar un poco. La integral de $(a+bx^n)^m$ está dada por (sólo la ampliación y la integración de plazo-wise):

$$\int(a+bx^n)^m\,\mathrm dx = \sum_{k=0}^m \binom m ka^kb^{m-k}\frac{x^{kn+1}}{kn+1}$$

Ahora no he visto nunca una agradable forma de una expresión general como la suma en el lado derecho.

De hecho, cuando yo te miro (por ejemplo el momento de la entrega de una cantidad similar en un contexto diferente), me suele pensar en nada excepto "Hey, esa es la integral de la $(a+bx^n)^m$".

Para muchos de los usos de sumas de dinero como el de la derecha, la representación integral es en realidad una forma de simplificar el problema; si no eran bonitas formas cerradas en la actualidad (ampliamente) conocido, la práctica de matemáticas probablemente en masa utilizarlas en lugar de la representación integral.

Todo esto proporciona alguna evidencia circunstancial de apoyo a la sensación de la tripa que probablemente no hay manera general.