Encontrar la probabilidad de que $2$ los calcetines son del mismo color

Question

Pregunta: Un cajón contiene $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos. Se eligen dos calcetines al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el $2$ ¿los calcetines son del mismo color?

¿Debo abordar este problema sumando las probabilidades de seleccionar $2$ calcetines azules y seleccionando $2$ ¿calcetines blancos? Si es así, ¿la fórmula es desordenada sin reemplazo? ¿Puede alguien indicarme la fórmula correcta para resolver esto?

Answer 1

Podemos enfocar esto de varias maneras. Pensar en ordenar, o no; buscar opciones emparejadas o no emparejadas (y calcular). Ninguna es muy difícil.

Siguiendo el enfoque que propones, el cálculo quedaría así:

$$\frac6{10}\cdot \frac 59 + \frac 4{10}\cdot \frac 39$$

Siguiendo el enfoque del desajuste ordenado:

$$1-\left( \frac6{10} \cdot\frac 49 + \frac 4{10}\cdot \frac 69\right)$$

Un enfoque de búsqueda de coincidencias no ordenado:

$$\frac{\binom 62+ \binom 42}{\binom {10}2} $$

Un enfoque de búsqueda no ordenada de desajustes:

$$1-\frac{\binom 61 \binom 41}{\binom {10}2} $$

Todos dan el mismo resultado.

Answer 2

¿Debo abordar este problema sumando las probabilidades de seleccionar $2$ calcetines azules y seleccionando $2$ ¿calcetines blancos?

Bueno, debería ser "o" en lugar de "y", pero es la idea correcta.

Si es así, ¿la fórmula es desordenada sin reemplazo? ¿Puede alguien indicarme la fórmula correcta para resolver esto?

Es la probabilidad de seleccionar $2$ de $6$ calcetines azules o $2$ de $4$ calcetines blancos, al seleccionar cualquier $2$ de todos $10$ calcetines.   Se trata de sucesos disjuntos, por lo que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades (así que, sí, basta con sumarlas).

$$\dfrac{\dbinom{6}{2}+\dbinom 42}{\dbinom{10}2}~=~\dfrac{6\cdot 5+4\cdot 3}{10\cdot 9}$$

Una alternativa sugerida es considerarla como la probabilidad de no seleccionando un calcetín de cada color.

$$1-\dfrac{\dbinom 61\dbinom 41}{\dbinom {10}2}~=~1-\dfrac{2\cdot 6\cdot 4}{10\cdot 9}$$

Son el mismo valor.

Answer 3

Es correcto sumar las probabilidades de seleccionar $2$ calcetines azules y seleccionando $2$ calcetines blancos.

Para encontrar cada una de estas probabilidades, se multiplicaría la probabilidad de que el calcetín $1$ es un color determinado multiplicado por la probabilidad de que el calcetín $2$ siendo ese mismo color. Pero como es sin reemplazo, recuerda que para la segunda elección hay un calcetín menos del color que ya fue elegido y un calcetín menos en total.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos calcetines azules sería ${6\over 10}*{5\over 9}$ y la probabilidad de obtener dos calcetines blancos sería ${4\over 10}*{3\over 9}$ . Súmalos para obtener la probabilidad total de obtener dos calcetines del mismo color.

Answer 4

Míralo de esta manera:

No importa cuál sea tu primera elección, puedes conseguir dos calcetines del mismo color. Por lo tanto, la probabilidad de que su primer calcetín funcione es $1$ .

Observamos que la probabilidad de que elija dos calcetines del mismo color puede representarse así:

$P(M)=P(C) \cdot P(M_{2})$ , donde $M$ es el caso de sacar dos calcetines iguales (y por tanto $P(M)$ es la probabilidad de que obtengas dos calcetines iguales. $P(C)$ es igualmente la probabilidad de que saque cualquier calcetín (porque cualquier calcetín servirá para el primero). $P(M_2)$ es la probabilidad de que se extraiga otro calcetín que coincida con el primero.

$$P(M)=P(C) \cdot P(M_{2})=P(M_2)$$

$P(M_2)$ es fácilmente calculable. La probabilidad de que el segundo calcetín coincida con el primero si éste es azul es $5/9$ . La probabilidad de que el segundo calcetín coincida con el primero si éste es blanco es $3/9$ o $1/3$ . Por lo tanto, tenemos:

$$P(M)=P(M_2)=\frac13 \cdot P(W)+\frac59 \cdot P(B)$$

Dónde $P(W)$ es la probabilidad de sacar una blanca como primera media y $P(B)$ es la probabilidad de sacar un azul como primera media.

La sustitución da:

$$P(M)=P(M_2)=\frac13 \cdot P(W)+\frac59 \cdot P(B)=\frac13\cdot\frac25+\frac59\cdot\frac35=\frac{6}{45}+\frac{15}{45}=\frac{21}{45}=\frac7{15}$$