Conformación puntos, los puntos de ramificación, y analiticidad de la asignación de $z=w+e^w$?

Question

Considerar la asignación de la $z$-plano a la $w$-plano dado por $$z=w+e^w$$

No hay ninguna forma cerrada, $w(z)$ que coincide con el mapa, pero todavía podemos hablar de la conformidad.

$$\frac{dz}{dw}=1+e^w \implies \frac{dw}{dz} = \frac{1}{1+e^w}$$

Parece que $w$ es derivable y por lo tanto analítica donde $e^w \ne -1$. Por lo que el $w$ asignación no se ajustan donde $w_n = (2n+1)\pi i$. En el $z$ plano, que corresponde a donde $z_n=w_n+e^{w_n}$ o $$z_n=-1 + (2n+1)\pi i$$

Pero se me dijo que esta asignación tiene dos puntos de ramificación en el $z$-plano, $z= -1\pm \pi i$. Y, salvo la colocación de la rama de corte, se me ha indicado que la asignación de la $w$-plane es de conformación todos los $z$, excepto para los dos puntos de ramificación (y sus recortes).

¿De dónde proviene? Estos dos puntos están en el conjunto que he encontrado, pero en todo caso, parece que tengo una infinidad de $z_n$ que podría ser contendientes por el punto de ramificación. Sin saber $w(z)$, ¿cómo puedo determinar donde los puntos de ramificación son?

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Detalles adicionales: puede ser importante que yo era la asignación de los dos rayos parametrizadas a continuación, que se suponía iban a ejecutar a lo largo de los cortes de ramas y al final en los dos puntos de ramificación.

$$z=x\pm i\pi \quad\quad x\in(-\infty,-1]$$

Answer 1

Deje $f(w) = w + \exp(w)$

Dependiendo de cómo hacer que su rama de recortes (que es completamente arbitraria, mi favorito cortes de ramas generalmente son espirales), usted puede hacer todos los puntos de ramificación aparecen en su "mapa", o simplemente como pocos, ya que sólo uno de ellos.

Si el instructor tiene en mente rama horizontal de los recortes que va a la izquierda, a continuación, obtener countably muchas ramas, cada una con dos puntos de ramificación.

Puesto que usted quiere cortar, $z$ a la izquierda de la rama de los puntos que usted tiene que cortar $w$ a lo largo de la preimagen de los halflines.

$f(x + (2k-1)i\pi) = x + (2k-1)i\pi - \exp(x)$. $x \mapsto x - \exp(x)$ los aumentos de $- \infty$ a $-1$ (en x=$0$) luego disminuye a $-\infty$, por lo tanto, usted tiene que cortar $w$ a lo largo de las líneas de $\Im(w) = (2k-1)\pi$.

Mediante la restricción de $f$ a una franja horizontal $U_k = \{w \mid (2k-1)\pi < \Im (w) < (2k+1)\pi \}$, se obtiene un bijection de $U_k$ a $\Bbb C$ con las dos medias líneas de $\{z \mid \Re(z) \le -1 \land \Im(z) = (2k\pm 1)\pi \}$ eliminado.
Entonces la inversa de esas restricciones son "ramas" con dos puntos de ramificación. Pero hay infinitamente muchos de ellos.

Usted también podrá decidir realizar los cortes de ramas ir a la derecha (o hacerlos vertical, o lo que sea), así que usted tiene que cortar la $w$s a lo largo de la preimages de los otros halflines. Esta vez, el panorama no es tan simple, usted tiene que cortar $w$ a lo largo de infinidad de "c" en forma de curvas, con infinidad de "c" apiladas en la parte superior de uno al otro.

A continuación, obtener una infinidad de ramas con sólo un punto de ramificación (correspondiente a las regiones dentro de la "c" en las curvas), además de una rama con una infinidad de puntos de ramificación (correspondiente a la gran región a la izquierda de todas las curvas)