Si dos medianas son congruentes... ¿es el triángulo isósceles en un plano de Hilbert?

Question

Si $ABC$ es un triángulo para el que dos medianas son congruentes... ¿es cierto que el triángulo $ABC$ es isósceles en un plano general de Hilbert? Estoy teniendo un poco de problemas tratando de demostrar esto, si es que es cierto. Aquí está mi intento, en un plano de Hilbert con el axioma de paralelismo:

En primer lugar, dejemos que $CD,\,BE$ sean las medianas de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente. Sea $M$ sea el punto donde se cortan estas medianas (que existe, como aplicación fácil del axioma de Pasch).

Por hipótesis, $AD=BD$ , $AE=CE$ y $BE=CD$ (por lo tanto $AB=2AD=2BD,\,AC=2AE=2CE)$ . Asumiendo el axioma de paralelismo tenemos por el teorema de Tales (VI 2), que, ya que:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$

$DE$ es paralelo a $BC$ y los triángulos $ADE$ y $ABC$ son similares. En particular, $BC=2DE$ . Aplicando (I29) dos veces, podemos concluir que los triángulos $BCM$ y $EDM$ tienen todos los mismos ángulos, así que por (VI 4), concluimos que son triángulos semejantes. Pero entonces:

$$\frac{BC}{ED}=\frac{CM}{DM}$$

Y el lado izquierdo es igual a $2$ por lo que concluimos que $CM=2DM$ o en otras palabras, $-$ desde $CD=CM+MD\,-$ que $CD=\frac{3}{2}CM$ .

Por otro lado, también tenemos eso:

$$\frac{BC}{ED}=\frac{BM}{EM}$$

Y como el lado izquierdo es igual a $2$ también obtenemos que $BM=2EM$ o simplemente, que $BE=\frac{3}{2}BM$

Pero por hipótesis, $BE=\frac{3}{2}BM=\frac{3}{2}CM=CD$ Por lo tanto $BM=CM$ . Aplicando (I6) al triángulo isósceles $MBC$ concluimos que $\angle MBC=\angle MCB$ . Y entonces:

$$\begin{cases} \ BE=CD\,\text{ (by hypothesis)} \\ \ \angle EBC=\angle DCB\,\text{ (since we just proved that }\angle MBC=\angle MCB) \\ \ CB=BC\,\text{ (C2)} \\ \end{cases}$$

Así que por (C6) concluimos que los triángulos $EBC$ y $DCB$ son congruentes. En particular, $CE=BD$ . Desde $AB=2BD$ y $AC=2CE$ concluimos que $AB=AC$ y luego el triángulo $ABC$ es isósceles

Esta prueba se basa en gran medida en la teoría de los triángulos semejantes, que sólo puede desarrollarse asumiendo el axioma del paralelismo. Sin embargo, ¿puede demostrarse esto en un contexto más general, evitando el uso del axioma del paralelismo, o cualquiera de sus consecuencias? ¿Puede haber un modelo no euclidiano del plano de Hilbert en el que esta afirmación sea falsa?

Se agradecerá cualquier comentario al respecto.

Answer 1

He conseguido demostrar este teorema en geometría hiperbólica, utilizando la ley del coseno hiperbólico:

$$ \cosh a=\cosh b\cosh c -\sinh b\sinh c\cos\alpha, $$ donde $a$ , $b$ , $c$ son los lados de un triángulo y $\alpha$ el ángulo opuesto a $a$ .

Si $m$ es la longitud de la mediana que une el punto medio del lado $b$ con el vértice opuesto, entonces tenemos: $$ \cosh m=\cosh{b\over2}\cosh c -\sinh {b\over2}\sinh c\cos\alpha= {\cosh c+\cosh a\over2\cosh{b\over2}}, $$ donde he sustituido $\cos\alpha$ de la ecuación anterior y usamos la identidad: $\cosh b=2\cosh{b\over2}-1$ .

Del mismo modo, si $n$ es la longitud de la mediana que une el punto medio del lado $a$ con el vértice opuesto, obtenemos: $$ \cosh n={\cosh c+\cosh b\over2\cosh{a\over2}}. $$ Si $m=n$ obtenemos entonces la igualdad $$ \cosh{b\over2}{(\cosh c+\cosh b)}=\cosh{a\over2}{(\cosh c+\cosh a)}, $$ que se puede reescribir como $$ \left(\cosh{b\over2}-\cosh{a\over2}\right) \left[\cosh c-1+2\left(\cosh^2{b\over2}+\cosh^2{a\over2} +\cosh{b\over2}\cosh{a\over2} \right)\right]=0. $$ La expresión entre corchetes es positiva, por lo que debe ser $\cosh{b\over2}=\cosh{a\over2}$ Es decir $a=b$ .