Un problema tratar con los subgrupos de Sylow

Question

Echemos un vistazo a este ejercicio:

$G$ es un grupo finito y $p$ es un primo que divide a $|G|$. Si para cada elemento $x\in G$ tal que $g.c.d.(o(x),p)=1$,$g.c.d.\left([G:C_G(x)],p\right)=1$, demuestran que, a $G$ es el producto directo de una $p$-Sylow a un grupo con el fin de coprime con $p$.

(notación: claramente $C_G(\cdot)$ es el centralizador en $G$)

Si $|G|=p^rm$ ($p$ es coprime con $m$), para resolver el ejercicio, creo que es suficiente para encontrar un subgrupo normal de $G$ que tiene orden de $m$ y de tal manera que centralizar una $p$-Sylow.

Answer 1

Me gustaría traducir su condición en $G$ a "todos los $p'$-elemento centraliza algunos $p$-subgrupo de Sylow". Como todos los $p$-subgrupos de Sylow son conjugado, esto es equivalente a decir que todos los $p'$-elemento tiene un conjugado acostado en el centralizador de un fijo $p$-subgrupo de Sylow $S$.

Para grupos finitos el único subgrupo de intersección de cada clase conjugacy es el de todo el grupo (ver http://mathoverflow.net/questions/26979/generating-a-finite-group-from-elements-in-each-conjugacy-class).

Así que si usted puede demostrar que el normalizador $N_G(S)$ contiene un conjugado a cada elemento de a $G$ que ha pedido un múltiplo de $p$, usted sabe que $S$ es normal en $G$. Entonces por Schur-Zassenhaus existe un $p'$-subgrupo $H$ tal que $G = S\rtimes H$. Pero como $H$ centraliza $S$ por parte de los supuestos, el producto es directa.

Para cerrar la brecha, por Sylow del teorema es suficiente para demostrar que, dado un elemento $x \in G$ de orden divisible por $p$ normaliza algunas $p$-subgrupo de Sylow. Escribir $x = y\cdot z$ $y$ $p$- elemento, $z$ $p'$- elemento y $y$ $z$ de los desplazamientos (ver el $\langle x \rangle$ si usted no está seguro acerca de la existencia de una descomposición). Si $z=1$ $x$ es en algunas de las $p$-subgrupo de Sylow. De lo contrario, el centralizador de $z$ contiene un $p$-Sylow $T$ que wlog contiene $y$. Como $z$ centraliza $T$ también normaliza, y hemos terminado.